Problème de Monty Hall

Le problème des trois portes, parfois appelé problème de Monty Hall, est une question de probabilités qui déroute bien des gens.

Énoncé

Imagine trois portes. L’animateur Monty Hall place une voiture derrière l’une des portes et une chèvre derrière chacune des deux autres. Ton but est de trouver et de choisir la porte derrière laquelle se trouve la voiture. L’animateur t’invite alors à choisir l’une des trois portes, notées A, B et C. Tu choisis une porte, disons B. L’animateur intervient alors : parmi les portes restantes, A, C, il ouvre celle derrière laquelle se cache la chèvre, c’est-à-dire qu’il te révèle une porte qui ne mène certainement pas au but. Disons qu’il ouvre la porte A.

Le cœur du problème se trouve dans l’étape suivante : l’animateur te propose de changer ton choix. Tu avais choisi la porte B, puis l’animateur t’a dit que derrière la porte A il n’y a pas la voiture, et il te propose de changer ton choix pour la porte C. Mais tu peux aussi garder ton choix initial, la porte B.

Que décides-tu ? La voiture se trouve-t-elle plus probablement derrière la porte B ou derrière la porte C ? Ou est-ce pareil ?

Solution

Tu as trois portes. L’une d’elles est sortie du jeu, il ne te reste donc que deux portes. Derrière l’une de ces deux portes se trouve forcément la voiture. Sur les deux portes restantes, tu ne sais rien et tu n’as aucun indice supplémentaire. La probabilité est donc bien sûr de 50 % pour chacune des deux portes.

C’est à peu près le raisonnement d’une grande partie des gens, alors ne t’en fais pas si tu as pensé la même chose. La solution est pourtant, bien sûr, fausse :-).

Solution correcte

Il est avantageux de changer ton choix pour la porte que l’animateur n’a pas éliminée. Pour bien le comprendre, décomposons les probabilités depuis le début. Quand tu choisis une porte pour la première fois, la probabilité que la voiture soit derrière elle est de 1/3. Nous n’avons aucun autre indice, donc la probabilité est répartie uniformément, 1/3 pour chaque porte.

Si tu choisis la porte B, tu as donc une chance de 1/3 que la voiture soit derrière elle. Il existe en même temps une probabilité de 2/3 que la voiture se trouve derrière la porte A ou C. Il est donc plus probable que la voiture se trouve derrière les portes que tu n’as pas choisies. C’est important.

À l’étape suivante, l’animateur intervient et ouvre l’une des portes derrière laquelle il n’y a pas la voiture. Il ouvre la porte A, la voiture n’est donc pas derrière A. Qu’advient-il de cette probabilité de 2/3 ? Nous savons que la probabilité que la voiture soit derrière A ou C est de 2/3, et nous savons qu’elle n’est pas derrière A. Les 2/3 se reportent donc sur la porte C. La chance que la voiture soit derrière C est de 2/3.

Notre chance pour la porte B, en revanche, reste la même, elle n’a pas changé. Nous avons donc 1/3 de chance que la voiture soit derrière la porte B que tu as choisie, et 2/3 de chance qu’elle soit derrière la porte C, vers laquelle tu peux changer ton choix. Il est donc raisonnable de changer de choix.

Davantage de portes

On comprend peut-être mieux l’exemple si l’on augmente le nombre de portes et qu’on modifie ainsi le problème : imagine dix portes. Au départ, le candidat choisit une porte, et l’animateur ouvre toutes les portes sauf celle qu’il a choisie et celle derrière laquelle se trouve la voiture. L’énoncé est pratiquement le même que dans l’exemple précédent ; la seule différence est que dans l’exemple précédent, en ouvrant « toutes » les portes, l’animateur n’en ouvrait qu’une, car il ne pouvait pas en ouvrir davantage.

Au départ, tu choisis la porte 1. La chance que la voiture se trouve derrière elle est de 1/10. La probabilité qu’elle soit derrière une autre porte est de 9/10. Ensuite, l’animateur élimine 8 portes derrière lesquelles il n’y a certainement pas la voiture, et il ne te reste donc à nouveau que deux portes. La chance que la voiture se trouve derrière la porte qu’il t’a laissée est de 9/10, alors que la chance qu’elle se trouve derrière la porte que tu avais choisie reste de 1/10.