微分の公式

関数の微分の計算に役立つ公式をいくつか紹介します。

基本公式

関数の微分を計算するときにほとんど毎回使う基本公式です。左側が元の関数、右側がその導関数です。x で微分し、c は定数とします。

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c{x}^{c-1}\end{array}$$

和・積・商

f(x)（または f）と g(x)（または g）を関数とします。このとき、次のように書けます。

$$\begin{array}{rcl}(f+g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }+g^{\prime }\\ (c\cdot f{)}^{\prime }& =& c\cdot f^{\prime }\\ (f\cdot g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }\\ {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }& =& \frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}\end{array}$$

特別な場合として、合成関数の微分があります。

$$\begin{array}{rcl}(f(g(x)){)}^{\prime }& =& f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

対数関数と指数関数

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\log c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{c}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \log c};c>0\wedge c\ne 1\\ (\log x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

三角関数

$$\begin{array}{rcl}(\sin x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\sin x\\ (\tan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\cot x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\sin }^{2}x}\\ (\arcsin x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{1+x^2}\\ (\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$

（cot x はコタンジェント、つまりタンジェントの逆数で、arccot x はその逆関数です。どちらも日本の高校では扱いません。）