Formule per il calcolo delle derivate

Alcune formule utili per calcolare le derivate delle funzioni.

Formule fondamentali

Le formule fondamentali che userai in quasi ogni calcolo della derivata di una funzione. Nella colonna di sinistra c’è la funzione di partenza, in quella di destra la sua derivata. Supponiamo di derivare rispetto a x e che c sia una costante.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c{x}^{c-1}\end{array}$$

Somma, prodotto e quoziente

Siano f(x) e g(x) (in breve f e g) due funzioni. Allora possiamo scrivere:

$$\begin{array}{rcl}(f+g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }+g^{\prime }\\ (c\cdot f{)}^{\prime }& =& c\cdot f^{\prime }\\ (f\cdot g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }\\ {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }& =& \frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}\end{array}$$

In particolare abbiamo la derivata della funzione composta:

$$\begin{array}{rcl}(f(g(x)){)}^{\prime }& =& f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Logaritmi e funzioni esponenziali

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{c}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln c};c>0\wedge c\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Funzioni goniometriche

$$\begin{array}{rcl}(\mathrm{sen}x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\mathrm{sen}x\\ (\tan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\cot x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\mathrm{sen}}^{2}x}\\ (\mathrm{arcsen}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{1+x^2}\\ (\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$