Τύποι για τον υπολογισμό παραγώγων

Μερικοί χρήσιμοι τύποι για τον υπολογισμό παραγώγων συναρτήσεων.

Βασικοί τύποι

Οι βασικοί τύποι που θα χρησιμοποιήσεις σχεδόν σε κάθε υπολογισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης. Στην πρώτη στήλη είναι η αρχική συνάρτηση, στη δεύτερη η παράγωγός της. Υποθέτουμε ότι παραγωγίζουμε ως προς x και ότι το c είναι σταθερά.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c{x}^{c-1}\end{array}$$

Πρόσθεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Έστω ότι οι f(x) ή f και g(x) ή g είναι κάποιες συναρτήσεις. Τότε μπορούμε να γράψουμε:

$$\begin{array}{rcl}(f+g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }+g^{\prime }\\ (c\cdot f{)}^{\prime }& =& c\cdot f^{\prime }\\ (f\cdot g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }\\ {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }& =& \frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}\end{array}$$

Ειδικά για την παράγωγο σύνθετης συνάρτησης έχουμε:

$$\begin{array}{rcl}(f(g(x)){)}^{\prime }& =& f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Λογάριθμοι και εκθετικές συναρτήσεις

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{c}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln c};c>0\wedge c\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

$$\begin{array}{rcl}(\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x{)}^{\prime }& =& \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x\\ (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x{)}^{\prime }& =& -\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x\\ (\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}x}\\ (\mathrm{\sigma }\mathrm{\phi }x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }}^{2}x}\\ (\arcsin x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{1+x^2}\\ (\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$