Formeln zum Ableiten

Einige nützliche Formeln zum Berechnen von Ableitungen von Funktionen.

Grundformeln

Grundformeln, die du bei fast jeder Berechnung der Ableitung einer Funktion verwendest. In der ersten Spalte steht die ursprüngliche Funktion, in der zweiten die Ableitung der Funktion. Wir setzen voraus, dass wir nach x ableiten und dass c eine Konstante ist.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c{x}^{c-1}\end{array}$$

Addition, Multiplikation und Division

Setzen wir voraus, dass f(x) bzw. f und g(x) bzw. g irgendwelche Funktionen sind. Dann können wir schreiben:

$$\begin{array}{rcl}(f+g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }+g^{\prime }\\ (c\cdot f{)}^{\prime }& =& c\cdot f^{\prime }\\ (f\cdot g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }\\ {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }& =& \frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}\end{array}$$

Speziell haben wir dann die Ableitung einer verketteten Funktion:

$$\begin{array}{rcl}(f(g(x)){)}^{\prime }& =& f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Logarithmen und Exponentialfunktionen

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{c}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln c};c>0\wedge c\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Trigonometrische Funktionen

$$\begin{array}{rcl}(\sin x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\sin x\\ (\tan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\cot x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\sin }^{2}x}\\ (\arcsin x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{1+x^2}\\ (\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$