関数の極限

関数の極限は、解析学でもっとも重要な概念の一つです。ある点の近くで関数がどうふるまうかを表すもので、これを使ってたとえば関数の連続性を定義できます。関数の極限を使うと、関数がまったく定義されていないところでのふるまいも理解できます。

点の近傍

まず、実数の集合における点のイプシロン近傍の定義から始めましょう。r ∈ ℝ とします。ϵ > 0 について、この点のイプシロン近傍とは開区間 (r − ϵ, r + ϵ) のことです。穴あき近傍（中心を除いたイプシロン近傍）は、イプシロン近傍から点 r だけを取り除いたものです。穴あき近傍は (r − ϵ, r) ∪ (r, r + ϵ) です。点 a のイプシロン近傍を U(a, ϵ)、穴あき近傍を R(a, ϵ) と書きます。

例として、5とその2近傍を考えます。U(5, 2) を求めると、区間 (5 − 2, 5 + 2) = (3, 7) になります。5を除いた近傍は R(5, 2) = (3, 5) ∪ (5, 7) で、同じ近傍から点5だけを除いたものです。点 5 の 2 近傍を図で表すと次のようになります。

5を除いた 2 近傍も同じように見えますが、青い点 5 が含まれません。

集積点

次に、集合の集積点の定義を知っておく必要があります。要素 a ∈ ℝ が集合 M ⊆ ℝ の集積点であるとは、その穴あき近傍を、どんなに小さくとっても、その中に必ず集合 M の点がある、ということです。正確には次のように書きます。

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }$$

例：どの実数も、実数の集合の集積点です。たとえば10を選ぶと、この点を除いたどんな近傍にも、必ず実数があります。$ϵ=\frac{1}{100}$ なら、10を除いた近傍は (9.99, 10) ∪ (10, 10.01) です。どちらの区間にも実数があり、正確には無数の実数があります。どんなに小さい ϵ をとっても、無数の実数を含む区間が得られます。

M を自然数の集合にすると、集積点は1つもありません。たとえば $\frac{1}{2}$ は集積点ではありません。$ϵ=\frac{1}{10}$ なら区間 (0.4, 0.5) ∪ (0.5, 0.6) が得られますが、どちらの区間にも自然数がないからです。

極限を考える理由

いちばん簡単な定義、つまり有限の点での有限の極限から始めましょう。まず、何を求めたいのかを見ておきます。次の符号関数（signum）のグラフを見てください。

点 x₁ = 3 をとると、この点での関数の値は 1 です。sgn(3) = 1 です。しかも、「近く」のまわりの点でも関数の値はすべて 1 です。たとえば sgn(2.5) = 1、sgn(3.5) = 1 です。点 x₁ = 3 に左から近づいても右から近づいても、関数の値はいつも1です。

ところが、点 x₂ = 0 をとると sgn(0) = 0 ですが、まわりの点ではどれも違う値になります！たとえば $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$、$\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$ です。右からの関数の値は 1 に近づき、左からの関数の値は −1 に近づきます。そして最後に、点 x₂ = 0 での関数の値は 0 になります。ここが落とし穴です。関数がある点で近づいていくこれらの値を、その点での関数の極限といいます。

有限の点での極限の定義

f を関数とし、x₀ ∈ ℝ を関数 f の定義域 D(f) の集積点とします。次が成り立つとき、L ∈ ℝ を点 x₀ における関数 f の極限（極限値）といいます（大学で学ぶ ε-δ 論法）。

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

この定義の意味を考えましょう。ここで「有限の点」とは、その点が実数であるということです。あとで、無限大での極限を扱います。次の極限を求めてみましょう。

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

このように簡単な関数では、点 x₀ での関数の極限は、その点での関数の値 f(x₀) に等しくなります。「簡単な関数」が何を意味するかは、あとできちんと定義します。では、すべてを図にかいてみましょう。

黒い直線は関数 $f(x)=\frac{x}{3}$ のグラフ、赤い点 x₀ は極限を求める点、緑の点 L は求める極限です。極限は y 軸上に示していることに注目しましょう。

定義に沿って進めます。定義の最初には (∀ϵ > 0) があり、あとで ϵ は |f(x) − L|<ϵ の中で使われます。これは、すべての f(x) が L から ϵ 未満の距離にあってほしい、ということを数学的に書いたものです。つまり、y 軸上の点 L の ϵ 近傍を考えます。定義によれば、どんな ϵ > 0 を選んでもかまいません。たとえば $ϵ=\frac{3}{10}$ を選びます。y 軸上で、点 L からちょうど ϵ 離れた点を見つけます。

この緑の線の間にある y 軸上の点は、すべて点 L の ϵ 近傍に入っています。定義が述べているのは、これらの点のことです。

定義は (∃δ>0) と続き、これは 0<|x − x₀|<δ の中で使われます。差 x − x₀ が δ より小さくなるようにするということです。x, x₀ は x 軸上にあるので、δ も x 軸上に示します。式 0<|x − x₀|<δ は、x₀ からの距離が δ より小さく、しかも0より大きい、つまり x ≠ x₀ であるすべての x をとる、ということを表しています。つまり、この式は点 x₀ を除いた δ 近傍を表しています。したがって、極限の定義は近傍を使って次のように言いかえられます。

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

前の定義に戻り、図をかき進めましょう。それには定義の次の部分が必要です。

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

つまり、点 x₀ を除いた δ 近傍のすべての x について、ある条件が成り立たなければなりません。図に、点 x₀ を除いた δ 近傍を、たとえば $\delta =\frac{3}{2}$ としてかき加えます。

赤い破線の間にあるすべての x は、点 x₀ そのものを除いて、x₀ の δ 近傍に入っています。もう一度、前の条件を見てみましょう。

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

点 x₀ を除いた δ 近傍のすべての x について、関数の値 f(x) がすべて点 L の ϵ 近傍に入っていなければなりません。そこで、点 x₀ を除いた δ 近傍のすべての x について関数の値を求めます。次の図では、これらの関数の値を青い線分で示しています。

点 x₀ は除かれているので、その場所は白丸になっています。定義によれば、これらの青い点はすべて点 L の ϵ 近傍に入っていなければなりません。図の色でいえば、青い点はすべて、ϵ 近傍を表す緑の線の間になければなりません。そうなっているでしょうか。

もちろん、なっていません。たとえば $x=\frac{16}{10}$ では、緑の線の間にない青い点、つまり点 L の ϵ 近傍に入らない青い点が明らかにあります。

しかし、それはかまいません。定義が述べているのは、点 L のどの ϵ 近傍に対しても、条件の残りを満たすような δ 近傍が存在しなければならない、ということです。つまり、そのような δ 近傍が1つあれば十分です。$\delta =\frac{3}{2}$ は明らかによい選び方ではありませんでしたが、別の δ、たとえば $\delta =\frac{1}{2}$ を試せます。すると図は次のように変わります。

もう一度、点 x₀ を除いた δ 近傍のすべての x について、関数の値がすべて点 L の ϵ 近傍に入っているかを確かめます。つまり、青い点がすべて緑の線の間にあるかどうかです。今度は入っています。やった！

これで、L は点 x₀ における関数の極限だといえるでしょうか。まだとは限りません。定義には (∀ϵ > 0) … とあるからです。ここまで確かめたのは1つの具体的な ϵ についてだけで、残りは……無数にあります。

言いかえると、本当に $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$ が成り立つには、どの ϵ 近傍に対しても、前の条件が成り立つような δ 近傍を見つけなければなりません。図から、そのような δ 近傍がいつも見つかることがわかります。たとえば ϵ を $ϵ=\frac{1}{10}$ まで小さくしたら、δ を $\delta =\frac{2}{10}$ まで小さくすればうまくいきます。

ϵ をどんなに小さくとっても、関数の値を関数の極限 L の ϵ 近傍に入れられるような δ を、いつも見つけなければなりません。

有限の点での極限の証明

では、前の極限を実際に証明してみましょう。図から、おそらく

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

であることはわかっています。これを数学的に証明します。図から、δ にいつも ϵ と同じ値をとればうまくいきそうだと推測できます。そこで δ = ϵ とおきます。すると、次のことを証明すればよいことになります。

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{すべての}x\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )\text{ について}$$

δ = ϵ とおいたので、すべての δ を ϵ に変えます。

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{すべての}x\in (x_0-ϵ,x_0)\cup (x_0,x_0+ϵ)\text{ について}$$

L に 1 を、x₀ に 3 を代入します。

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{すべての}x\in (3-ϵ,3)\cup (3,3+ϵ)\text{ について}$$

あとは、すべての不等式を証明すればよいのです。関数 $\frac{x}{3}$ は増加関数なので、端の点 3 − ϵ と 3 + ϵ を確かめれば十分です。まず 3 − ϵ から始めます。関数 $\frac{x}{3}$ に 3 − ϵ を代入し、この値がいつも不等式 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ を満たすことを示します。

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

3 + ϵ についても同じです。

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

極限を間違えた場合

最後に、x が3に近づくときの関数の極限が2分の1だと思い込んだらどうなるかを図にかいてみましょう。小さいイプシロン近傍を選びます。

こうなると、関数の値がすべてこの緑の線の間に入るような、点 x₀ のデルタ近傍はもう見つかりません。選んだ δ 近傍では、青い点がすべて緑の線の外にあります。δ 近傍を大きくしても、緑の線の間に入らない青い点が増えるだけです。

符号関数の極限

符号関数（signum）はきれいな関数ですが、頭が混乱するかもしれません。グラフは次のとおりです。

グラフだけではわかりにくいので、言葉で説明します。x が負なら符号関数の値はマイナス1、正ならプラス1、x が0なら符号関数も0です。絶対値を使ってグラフを f(x) = |sgn(x)| に変えると、|sgn(0)| = 0 で、それ以外の場合は |sgn(x)| = 1 になります。グラフは次のとおりです。

問題は、次の極限が何に等しいかです。

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

関数は点0で定義されていて、関数の値も0です。しかし、だからといって極限も0になるとは限りません。極限は、その点での関数の値と違うことがあります。

定義を正しく満たすように極限を選ぶ方法は、ただ1つ、極限を1にすることです。直感で考えることもできます。x が左から0に近づくとき、関数の値は何に近づくでしょうか。ずっと1に近づいています。最後に0へ飛ぶことは関係ありません。x が右から0に近づく場合も同じです。

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

関数を元の形 f(x) = sgn(x) のままにしておくと、関数は点0で極限をもたず、異なる2つの片側極限をもちます。左からはマイナス1に、右からはプラス1に近づきます。定義に沿って証明してみるとよいでしょう。

極限が存在しない例

極限が存在しない例をいくつか見てみましょう。

極限が存在しないいちばん簡単な例は、D(f) の集積点ではない点で極限を求めようとする場合です。たとえば、次の極限は存在しません。

$$\underset{x\to -1}{lim}\log x$$

グラフは次のとおりです。

周期関数は、無限大で極限をもたないことがよくあります（すべてがそうとは限りません！）。典型的なのは、サインのような三角関数です。グラフは次のとおりです。

無限大での極限は存在しません。サインの値はいつまでも1とマイナス1の間を振動するので、極限を求めることはできないのです。