接線の方程式

接線とは、関数のグラフに1点で接し、その点でグラフと同じ傾きをもつ直線です。その点の近くでは、グラフにぴったり寄りそうので、グラフとほとんど見分けがつきません。放物線、つまり関数 f(x) = x² のグラフで見てみましょう。

赤い直線 t は、点 T(1, 1) での接線です。灰色の破線も同じ点を通りますが、傾きが違うので、グラフと交わり、少し離れたところでもう一度グラフと出会います。したがって、灰色の破線は接線ではありません。

問題はふつう次のような形です。関数とそのグラフ上の点が与えられ、その点での接線の方程式、つまり y = mx + n の形の直線の方程式を求めます。直線の方程式を求めるには、次の2つが必要です。

• 直線が通る点
• 傾き m、つまり直線がどれだけ傾いているかを表す数

点は与えられています。点はグラフ上にあるので、x 座標が x₀ なら、y 座標は f(x₀) です。傾きを求めるには微分が役に立ちます。点での関数の微分係数は、まさにその点での接線の傾きです。あとは、点と傾きから直線の方程式を組み立てるだけです。

点と傾きで決まる直線

傾きが m で、点 (x₀, y₀) を通る直線の方程式は次のとおりです。

$$y-y_0=m\cdot (x-x_0).$$

これはすぐに確かめられます。x に x₀ を代入すると右辺が0になるので y = y₀ となり、点は直線上にあります。そして、かっこの前の数が傾きです。展開すると、m が正しい位置にある傾きと切片の形 y = mx + n になるからです。

接線の場合は、接点として y₀ = f(x₀) を、傾きとして微分係数 m = f'(x₀) を代入します。

公式

公式だけを知りたいなら、点 (x₀, f(x₀)) における関数 f のグラフの接線は次のように書けます。

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

ここで x₀ は接点の x 座標、f'(x₀) はその点での関数 f の微分係数です。この公式は、点 x₀ で微分係数が存在することを前提にしています。存在しなければ、この方法では接線を書けません。

したがって、手順全体は3つです。

1. f(x₀) を計算する。
2. 関数を微分し、f'(x₀) を計算する。
3. 2つの数を公式に代入して整理する。

例題

関数 f(x) = x² のグラフの、x₀ = 1 の点における接線の方程式、つまり記事の最初の図の赤い接線の方程式を求めましょう。

まず、x₀ での関数の値を求めます。

$$f(1)=1^2=1$$

したがって、接点は (1, 1) です。次は微分です。微分の公式から (x²)' = 2x です。

$$f^{\prime }(x)=2x$$

導関数に x₀ = 1 を代入します。

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

接線の傾きは2です。2つの数を公式に代入します。

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

かっこをはずします。

$$y-1=2x-2$$

あとは y について解くだけなので、1を右辺に移項します。

$$y=2x-1$$

点 (1, 1) における関数 x² のグラフの接線の方程式は y = 2x − 1 です。接線が本当に接点を通ることを確かめます。2 · 1 − 1 = 1 で、合っています。

よくある間違いは、微分係数を使うべきところにも x₀ を元の関数に代入した値を使い、y − 1 = 1 · (x − 1) と書いてしまうことです。点を通る直線にはなりますが、傾きが違うので、グラフと交わってしまいます。これはまさに、最初の図の灰色の破線 y = x です。

直線に平行な接線

接点が与えられず、自分で探さなければならないこともあります。典型的な問題は次のようなものです。関数

$$f(x)=x^2-4x+5,$$

のグラフの接線のうち、直線 y = 2x − 7 に平行なものを求めなさい。

直線 y = 2x − 7 自体は接線ではなく、放物線と共有点さえもちません。2つの式から y を消去すると x² − 6x + 12 = 0 となり、この2次方程式は判別式が 36 − 48 = −12 になるので、実数解をもちません。そこで、放物線にちょうど接するように直線を平行移動する必要があります。

平行な直線は傾きが等しいので、求める接線の傾きは、直線 y = 2x − 7 と同じ2でなければなりません。そこで、微分係数が2になる点を探します。微分します。

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

導関数を2とおき、1次方程式を解きます。

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/÷2\\ x& =& 3\end{array}$$

接点の x 座標は x₀ = 3 です。y 座標は関数から求めます。

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

接点 T(3, 2) と傾き2がそろったので、次のように書けます。

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

展開して2を右辺に移項すると、次のようになります。

$$y=2x-4$$

求める接線の方程式は y = 2x − 4 です。図では、放物線を黒、与えられた直線 p を青、接線 t を赤、接点 T をオレンジで示しています。

与えられた直線の傾きが違っても、手順はまったく同じで、導関数を別の数とおくだけです。放物線では接点はいつもちょうど1つですが、もっと複雑な関数では、接点が複数あることも、1つもないこともあります。

法線

法線とは、接点を通り、接線に垂直な直線です。接線の傾きが m なら、垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{m}$ です。したがって、法線の方程式は次のとおりです。

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

この公式は f'(x₀) ≠ 0 のときだけ使います。微分係数が0なら、接線は x 軸に平行で、法線は x 軸に垂直な直線 x = x₀ です。

最初の例題に戻り、その法線、つまり点 (1, 1) における関数 x² のグラフの法線を求めましょう。接線の傾きは2だったので、法線の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。代入します。

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

展開します。

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

1を右辺に移項し、分数を足します。

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

したがって、点 (1, 1) における関数 x² のグラフの法線は、方程式 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ で表されます。