Fórmulas de derivación

Algunas fórmulas útiles para calcular derivadas de funciones.

Fórmulas básicas

Las fórmulas básicas que usarás en casi todo cálculo de la derivada de una función. En la primera columna está la función original y en la segunda, la derivada de la función. Suponemos que derivamos respecto de x y que c es una constante.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c{x}^{c-1}\end{array}$$

Suma, producto y cociente

Supongamos que f(x) o f y g(x) o g son funciones cualesquiera. Entonces podemos escribir:

$$\begin{array}{rcl}(f+g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }+g^{\prime }\\ (c\cdot f{)}^{\prime }& =& c\cdot f^{\prime }\\ (f\cdot g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }\\ {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }& =& \frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}\end{array}$$

En particular tenemos la derivada de una función compuesta:

$$\begin{array}{rcl}(f(g(x)){)}^{\prime }& =& f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Logaritmos y funciones exponenciales

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{c}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln c};c>0\wedge c\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Funciones trigonométricas

$$\begin{array}{rcl}(\mathrm{sen}x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\mathrm{sen}x\\ (\tan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\text{cotan}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\mathrm{sen}}^{2}x}\\ (\mathrm{arcsen}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{1+x^2}\\ (\text{arccotan}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$