微分のやや難しい例題

公式をそのまま使うだけの基本的な計算より少し難しい、微分の例題をいくつか紹介します。微分の定義の説明が必要なら、記事関数の微分を見てください。

例題1

まだあまり難しくない例から始めましょう。

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

微分の公式から、関数 e^x の導関数はまた e^x になることがわかっています。残念ながら、この例ではこの簡単な方法をそのままは使えません。指数が x ではなく −x なので、この関数は合成関数として扱う必要があるからです。ただし、最初の段階では、いずれにしても積の公式で分解します。

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

左の多項式はいつもの公式で微分し、残りはそのままにします。

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

次に、最後の関数を微分しなければなりません。すでに述べたように、これは合成関数なので、合成関数の微分法で微分します。

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

したがって、この関数の導関数は次のようになります。

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

e^x の導関数はまた e^x で、公式の最初の段階では外側の関数を微分し、内側の関数は微分せずに残すので、式 e^−x はそのままです。2つ目の段階では、途中の結果に内側の関数、つまり関数 −x の導関数をかけます。関数 −x の導関数は −1 です。あとは、この結果を前の式に代入するだけです。

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

例題2

2つ目の例題です。

$$f(x)=\frac{\log (\cos x)}{\tan x}$$

ここには分数があり、分子と分母にそれぞれ別の関数があります。そこで、最初の段階では商の公式で微分します。公式を使うと次のようになります。

$$\frac{(\log (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\log (\cos x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

後ろから順に計算します。タンジェントは基本公式で簡単に微分できるので、まずタンジェントを微分します。次が成り立ちます。

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

この公式を分数の分子に使うと、次のようになります。

$$\frac{(\log (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\log (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

次に、対数を微分する必要があります。残念ながら、対数の中にさらに関数が入っているので合成関数になり、対数は合成関数として少し手間をかけて微分しなければなりません。対数そのものの導関数は 1/x ですが、x には対数の中身、つまりコサインを代入します。さらに、中身の導関数、つまりコサインの導関数をかける必要があります。したがって、対数の導関数は次のようになります。

$$(\log (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

かなりきれいな分数になりました。三角関数をよく覚えていれば、この分数がタンジェントに等しいことがわかるはずです。そこで、全体は −tan x に等しいと書けます。

$$(\log (\cos x){)}^{\prime }=-\tan x$$

これを前の結果に代入します。

$$=\frac{(\log (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\log (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\log (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

分子にはタンジェントが2つあるので、簡単に2乗にまとめられます。対数は、後ろの分数の分子に移せます。

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\log (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

ここで分子を分けて、2つの分数にします。

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\log (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

1つ目の分数は分子と分母が等しいので1になります。2つ目の分数では、分母と分子に式 cos²x をかけて、分子の分数をなくせます。

$$=-1-\frac{\log (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

ここで、タンジェントを商 sin(x)/cos(x) に分けられます。タンジェントは2乗されているので、分数でも分子と分母が2乗になります。そのあと、すぐに cos²x を約分できます。

$$=-1-\frac{\log (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\log (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

これが最終的な導関数です。

例題3

次の関数の導関数を求めなさい。

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

わかりにくいかもしれませんが、すべて指数です。つまり「x の $x^{\frac{1}{2}}$ 乗」です。まず、次の公式で変形します。

$$x=e^{\log x}$$

この公式を使って、例題の最初の x を書きかえます。

$$f(x)=(e^{\log x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

ここで、累乗の公式を使います。

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

かっこをはずし、いちばん上の指数と対数を積にします。

$$f(x)=e^{\log x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

これで、微分しやすい形になりました。これは合成関数なので、合成関数として微分します。外側の関数は e^x で、x には指数全体を代入します。内側の関数は指数の部分です。分解すると次のようになります。

$$f^{\prime }(x)=e^{\log x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\log x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

かっこの中は積として微分するので、積の公式を使います。

$$(\log x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\log x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\log x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

対数の導関数は 1/x です。

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\log x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

次に、2つ目の式を、累乗の関数を微分するいつもの公式で微分します。次が成り立ちます。

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

この結果を計算に代入します。

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\log x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

最初の積も、累乗の公式を使ってさらに変形できます。

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

いま計算した結果を使って、前の式を書き直します。

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\log x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

最後に、対数を分数の分子に移します。

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\log x}{2\sqrt{x}}=$$

1つ目の分数の分母と分子に2をかければ、2つの分数を足せます。

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\log x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\log x}{2\sqrt{x}}$$

これで、導関数全体に戻れます。

$$f^{\prime }(x)=e^{\log x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\log x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

e^{log x} を x に戻します。

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\log x}{2\sqrt{x}}\right).$$

これで最終的な結果が得られました。