Формули за работа с производни

Няколко полезни формули за пресмятане на производни на функции.

Основни формули

Основните формули, които ще използваш почти при всяко пресмятане на производна на функция. В първата колона е първоначалната функция, във втората производната на функцията. Предполагаме, че диференцираме по x и че c е константа.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c{x}^{c-1}\end{array}$$

Събиране, умножение и деление

Да предположим, че f(x) (накратко f) и g(x) (накратко g) са някакви функции. Тогава можем да запишем:

$$\begin{array}{rcl}(f+g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }+g^{\prime }\\ (c\cdot f{)}^{\prime }& =& c\cdot f^{\prime }\\ (f\cdot g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }\\ {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }& =& \frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}\end{array}$$

Освен това имаме производната на съставна функция:

$$\begin{array}{rcl}(f(g(x)){)}^{\prime }& =& f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Логаритми и показателни функции

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{c}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln c};c>0\wedge c\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Тригонометрични функции

$$\begin{array}{rcl}(\sin x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\sin x\\ (\mathrm{tg}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\mathrm{cotg}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\sin }^{2}x}\\ (\arcsin x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{1+x^2}\\ (\mathrm{arccotg}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$