Wzory na pochodne

Kilka przydatnych wzorów do obliczania pochodnych funkcji.

Podstawowe wzory

Podstawowe wzory, których użyjesz niemal przy każdym obliczaniu pochodnej funkcji. Po lewej stronie jest funkcja wyjściowa, po prawej jej pochodna. Zakładamy, że różniczkujemy względem x i że c jest stałą.

$$\begin{eqnarray} c^\prime&=&0\\ x^\prime&=&1\\ (x^c)^\prime&=&cx^{c-1} \end{eqnarray}$$

Dodawanie, mnożenie i dzielenie

Załóżmy, że f(x), czyli krótko f, i g(x), czyli krótko g, to jakieś funkcje. Wtedy możemy napisać:

$$\begin{eqnarray} (f+g)^\prime&=&f^\prime+g^\prime\\ (c\cdot f)^\prime&=&c\cdot f^\prime\\ (f\cdot g)^\prime&=&f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime\\ \left(\frac{f}{g}\right)^\prime&=&\frac{f^\prime\cdot g-f\cdot g^\prime}{g^2}\\ \end{eqnarray}$$

Osobno mamy jeszcze wzór na pochodną funkcji złożonej:

$$\begin{eqnarray} (f(g(x)))^\prime&=&f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x) \end{eqnarray}$$

Logarytmy i funkcje wykładnicze

$$\begin{eqnarray} (c^x)^\prime&=&c^x\ln c;\quad c>0\\ (e^x)^\prime&=&e^x\\ (\log_cx)^\prime&=&\frac{1}{x\cdot \ln c};\quad c>0\wedge c\ne1\\ (\ln x)^\prime&=&\frac{1}{x} \end{eqnarray}$$

Funkcje trygonometryczne

W Polsce tangens i cotangens zapisuje się tg i ctg, arcus tangens i arcus cotangens jako arctg i arcctg.

$$\begin{eqnarray} (\sin x)^\prime&=&\cos x\\ (\cos x)^\prime&=&-\sin x\\ (\operatorname{tg} x)^\prime&=&\frac{1}{\cos^2x}\\ (\mbox{cotan},x)^\prime&=&-\frac{1}{\sin^2x}\\ (\arcsin x)^\prime&=&\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x)^\prime&=&-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x)^\prime&=&\frac{1}{1+x^2}\\ (\mbox{arccotan}, x)^\prime&=&-\frac{1}{1+x^2}\\ \end{eqnarray}$$