Formule pentru calculul derivatelor

Câteva formule utile pentru calculul derivatelor funcțiilor.

Formule de bază

Formulele de bază pe care le folosești aproape la fiecare calcul al derivatei unei funcții. În prima coloană este funcția inițială, în a doua derivata funcției. Presupunem că derivăm în raport cu x și că c este o constantă.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c{x}^{c-1}\end{array}$$

Adunare, înmulțire și împărțire

Presupunem că f(x), respectiv f, și g(x), respectiv g, sunt două funcții. Atunci putem scrie:

$$\begin{array}{rcl}(f+g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }+g^{\prime }\\ (c\cdot f{)}^{\prime }& =& c\cdot f^{\prime }\\ (f\cdot g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }\\ {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }& =& \frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}\end{array}$$

În special avem derivata funcției compuse:

$$\begin{array}{rcl}(f(g(x)){)}^{\prime }& =& f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Logaritmi și funcții exponențiale

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{c}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln c};c>0\wedge c\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Funcții trigonometrice

$$\begin{array}{rcl}(\sin x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\sin x\\ (\mathrm{tg}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\sin }^{2}x}\\ (\arcsin x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{1+x^2}\\ (\mathrm{arcctg}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$