関数の連続性

関数の連続性は、直感が教えるとおり、関数がある点でつながっているか、それともどこかで切れているかを表します。連続性は関数の極限を使って定義し、計算します。極限がよくわかっていないと、ついていけないでしょう。

関数の連続性の定義

意外かもしれませんが、極限をしっかり理解していれば、連続性の定義はかなり簡単で、わかりやすいものです。関数の連続性の定義は次のとおりです。

関数 f(x) の定義域の点 a について、次が成り立つとき、関数 f(x) は点 a で連続であるといいます。

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$$

極限の代わりに左側極限や右側極限を使えば、左連続や右連続も定義できます。次の点に注意しましょう。

• ここで定義したのは、関数 f の点での連続性だけです。関数 f が定義域のすべての点で連続なら、関数 f は定義域全体で連続な関数であるといえます。
• 連続性の定義の点 a は、集積点でなければなりません。
• 関数が点 a で連続であるためには、f(a) が存在し（a が関数の定義域に含まれ）、極限 $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ が存在し、しかも両者が同じ値でなければなりません。
• ある点で連続な関数は、その点で左連続でも右連続でもあります。極限のときと同じように、関数がある点で左連続だけ、または右連続だけということもあります。左側極限と右側極限が異なれば、関数はその点で連続ではありません。

この定義は何を述べているのでしょうか。まず、関数がその点で定義されていなければなりません。関数がその点で定義されていなければ、その点で連続であるはずがありません。定義されていれば、極限を調べます。関数が右からも左からも、その点での関数の値に近づくなら、関数はその点で連続です。極限が関数の値と異なるなら、関数はその点で不連続です。

簡単な例を見てみましょう。記事関数の極限では、関数 $f(x)=\frac{x}{3}$ を扱いました。これは簡単な1次関数です。どの点 a ∈ ℝ についても、次が成り立ちます。

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a).$$

したがって、関数 f は定義域全体で連続です。たとえば a に 6 を代入すると、次のようになります。

$$\begin{array}{rcl}f(6)& =& 2\\ \underset{x\to 6}{lim}\frac{x}{3}& =& 2\end{array}$$

不連続点

関数が点 a で連続でないとき、関数はこの点で不連続であるといいます。これは驚くことではありません。しかし、関数を連続にするのに「グラフをどれだけ直さなければならないか」によって、不連続点にはいくつかの種類があります。

基本的な不連続点は3種類あります。

除去可能な不連続点

除去可能な不連続点とは、両方の片側極限が存在して等しい、つまり関数がその点で極限をもつのに、その極限が関数の値と異なるか、関数がその点で定義されていない点のことです。a が関数 f(x) の除去可能な不連続点なら、次が成り立ちます。

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x),\text{ しかし }\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne f(a)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

例として、符号関数 sgn x の絶対値をとった関数を考えます。この関数が点 a = 0 で連続かどうかを調べたいとします。グラフは次のとおりです。

関数はほとんど全体で連続ですが、点0だけにすき間があります。そこでの関数の値は1ではなく0だからです。しかも、この点での左側極限も右側極限も1です。この不連続は、その1点だけを定義し直せば連続な関数が得られるので、除去可能な不連続といいます。この不連続点は簡単に取り除けるのです。

第1種の不連続点

第1種の不連続点とは、両方の片側極限が存在し、しかもどちらも有限なのに、それらが等しくない点 a のことです。定義は次のとおりです。

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

この不連続点を、簡単な関数 f(x) = sgn(x) で見てみましょう。

ここでも、関数は点 a = 0 で不連続です。左側極限は −1、右側極限は 1 です。

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\text{sgn}(x)& =& -1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\text{sgn}(x)& =& 1\end{array}$$

左側極限と右側極限は等しくありませんが、どちらも有限です。したがって、これは第1種の不連続点です。

この種類の不連続点については、点での関数の跳びという概念も定義します。2つの極限の差のことで、点 a での関数 f の跳び s は次の値です。

$$s=\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$$

第2種の不連続点

第2種の不連続点とは、片側極限の少なくとも一方が無限大に発散する点、または片側極限の少なくとも一方が存在しない点のことです。例として、関数 $f(x)=\frac{1}{x}$ を考えます。不連続点は0にあります。

点0での左側極限は負の無限大、右側極限は正の無限大です。どちらの極限も無限大なので、これは第2種の不連続点です。この不連続は、簡単な方法では取り除けません。

区間での連続性

点での連続性は定義しましたが、区間での連続性はまだ定義していません。関数は、区間 I のすべての点で連続であるとき、区間 I で連続であるといいます。開区間と閉区間をきちんと区別することが大切です。両端が開いた区間なら、関数は端の点で連続でなくてもかまいません。開区間はそもそも端の点を含まないからです。しかし閉区間なら、関数はその端の点で左連続または右連続でなければなりません。

しばらく符号関数が出てこなかったので、また符号関数を考えましょう。開区間 (0, ∞) では、この関数は連続です。符号関数は0に不連続点をもちますが、区間が開いているので、0は調べる対象から外れます。区間 [0, ∞) では、関数はもう連続ではありません。点0で右連続ではないからです。

なぜ右連続ではないのでしょうか。右側極限は1ですが、関数の値は0だからです。値が等しくないので、関数はこの点で右連続ではありません。

不連続点が第1種の不連続点（または除去可能な不連続点）だけで、しかも有限個しかない関数を、区分的に連続な関数といいます。つまり、不連続点が無数にあれば、区分的に連続ではありません。注意しましょう。

実際には、関数の連続性は関数の微分を使って調べます。ある点で微分可能な関数は、その点で連続でもあります。