Deriválási képletek

Néhány hasznos képlet a függvények deriválásához.

Alapképletek

Alapképletek, amelyeket szinte minden függvény deriváltjának kiszámításakor használni fogsz. Az első oszlopban az eredeti függvény áll, a másodikban a függvény deriváltja. Feltételezzük, hogy x szerint deriválunk, és hogy c konstans.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c{x}^{c-1}\end{array}$$

Összeadás, szorzás és osztás

Tegyük fel, hogy f(x), illetve f és g(x), illetve g valamilyen függvények. Ekkor felírhatjuk:

$$\begin{array}{rcl}(f+g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }+g^{\prime }\\ (c\cdot f{)}^{\prime }& =& c\cdot f^{\prime }\\ (f\cdot g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }\\ {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }& =& \frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}\end{array}$$

Külön kiemeljük az összetett függvény deriváltját:

$$\begin{array}{rcl}(f(g(x)){)}^{\prime }& =& f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Logaritmusok és exponenciális függvények

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{c}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln c};c>0\wedge c\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Szögfüggvények

$$\begin{array}{rcl}(\sin x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\sin x\\ (\mathrm{tg}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\sin }^{2}x}\\ (\arcsin x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{1+x^2}\\ (\mathrm{arcctg}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$