数列の極限

数列の極限とは、その数列が限りなく先で近づいていく数のことです。数列の極限は、解析学で重要な役割を果たす関数の極限への準備ともいえます。

極限の簡単な導入

数列の極限とは、ある数列がどこまでも近づいていく（場合によっては最後にその値になる）数のことです。いちばんわかりやすいのは図でしょう。式 $a_n=\frac{1}{n}$ で表される数列を示します。

図から、数列の項がどんどん0に近づいていくことがわかります。n が大きいほど a_n の値は小さくなり、0に近づきます。グラフが横軸にふれることはありません。方程式 1/n = 0 が成り立つことはないからです（n は自然数）。それでも、数列全体がどの数に近づくかを調べる価値はあります。問いはこうなります。n をどこまでも大きくしていくと、数列の値はどの数に近づくのでしょうか。n を無限大に近づけると、数列の項はどんな値になるのでしょうか。それを扱うのが極限です。極限は記号 lim を使って書きます。下に、n がどの値に近づくかを書きます。数列ではいつも無限大です。全体はたとえば次のように書きます。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

「n を限りなく大きくしたときの、数列 $\frac{1}{n}$ の極限は0である」と読みます。ほかにもごく簡単な例をいくつか見てみましょう。数列 a_n = n の極限はいくつでしょうか。これは a₁ = 1、a₄₂ = 42、a₅₈₇₆₆ = 58766 のような簡単な数列です。限りなく先で、数列の項はどの数に近づくでしょうか。n が大きいほど a_n も大きくなるので、極限は無限大になります（正の無限大に発散します）。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

数列 a_n = n² の極限も無限大になることは、直感的にわかるでしょう。この数列は前の数列よりもさらに速く増加します。逆に、数列 $a_n=\frac{1}{2n}$ は、最初の例の数列よりさらに速く0に近づきます。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

数列の極限（収束）の定義

そろそろ、数列の極限をきちんと定義しましょう。

数列 ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ は、どんな ϵ > 0 に対しても、すべての n>n₀ について |a_n − a| < ϵ となるような n₀ ∈ ℕ が存在するとき、極限値 a をもつ（a ∈ ℝ に収束する、収束する数列である）といいます（大学で学ぶ ε-N 論法）。

次のような書き方をします。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a(n\to \mathrm{\infty })$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

定義はきれいですが、意味を説明していきましょう。そのためには数列の図が必要なので、たとえば次の数列を選びます。

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

そのグラフは次のとおりです。

グラフから、この数列は5に収束する、つまりこの数列の極限は5であることがよくわかります。この数列で極限の定義を説明する前に、グラフに少し色をつけておきます。

この数列の極限が5であることはわかっています。定義の最初の部分には ϵ>0、つまり0より大きいイプシロンが出てきます。ここでイプシロンは、極限のまわりの範囲（近傍）を表します。範囲は負にも0にもなれないので、0より大きくします。図では、この範囲を y 軸上の水平な緑の線で示しています。ここでは5が中心の点で、緑の線がその点のまわりの範囲です。範囲は上下両方向に広がっています。これから、この緑の水平線ではさまれた帯を使います。図では ϵ = 1 です。

目標は、下の横軸上で、横軸を2つに分ける数 n₀ を見つけることです。ただし、n₀ より右にある数列の項がすべて、この緑の帯の中に入っていなければなりません。n₀ より左の項がどこにあるかは関係なく、定義を満たす最小の n₀ を探す必要もありません。図では n₀ = 12 です。

数列の項が緑の帯の中にあるとは、実際にはどういうことでしょうか。極限（ここでは5）からの距離が、最大でもイプシロンだということです。これはまさに定義の |a_n − a|<ϵ が表していることです。a は極限を表すので、この例では a = 5 です。15番目の項の値を計算してみましょう。

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=4.6875$$

これを関係式 |a_n − a|<ϵ に代入します。

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |4.6875-5|& <& 1\\ 0.3125& <& 1\end{array}$$

不等式は成り立っています。この点は定義を満たします。0.3125は、数列の15番目の項と数列の極限との距離を表しています。図では、この距離を短い紫の線分で示しています。n₀ より大きいすべての番号についてこのように調べれば、この不等式がいつも成り立つことがわかります。したがって、数 a = 5 はこの数列の極限の定義を満たします。

ただし、定義には大事な点が1つあります。どんな ϵ>0 に対しても、その数 n₀ が見つけられる、と書かれていることです。つまり、どんなに大きいイプシロンでも、そして何よりどんなに小さいイプシロンでもです。イプシロンをどれだけ小さく（ただし正の数に）しても、n₀ が見つけられなければなりません。

では、イプシロンをもっと小さい値にしてみましょう。どうなるでしょうか。項が入らなければならない緑の帯が狭くなります。しかし、まったく問題ありません。n₀ の値を大きくする、つまり右にずらせばよいのです。帯を狭くし、n₀ をずらした様子を次の図に示します。

このずらし方は、極限のふるまいをよく表しています。極限に期待するのは、数列の項がだんだん極限に近づき、極限からの距離がどこまでも小さくなっていくことです（極限からの距離とは、先ほど計算した図の紫の線です）。距離がどこまでも小さくなり、項が極限に近づいていくなら、いつかは極限からの距離がイプシロンより小さくなるはずです。こうして n₀ の値が見つかります。逆に、イプシロンを大きくすれば、n₀ を小さく選べます。

最初に、数列は極限にどこまでも近づくが、決して極限には達しないと述べました。しかし実際には、数列が極限の値になることもあり、極限の値を無限回とることさえあります。たとえば定数の数列 a_n = 1 は、どの項も値が1で、極限も1です。

極限が存在しない例

次のグラフに合うように、数列の定義を変えてみましょう（ここでは具体的な式は重要ではありません）。

この数列は、10番目、20番目、30番目…の項を除いて、前の例と同じようにふるまいます（これらの項はいつも3.5で、増えも減りもしないとします）。これらの項はいわば調子はずれです。図には、イプシロン1とイプシロン2の2つの範囲をかき込みました。図のとおり、ϵ₂（大きいほうのイプシロンの範囲）では、それ以降のすべての項が緑の帯に入るような n₀ が見つかります。しかし、イプシロンを ϵ₁ まで小さくすると、もうそのような n₀ は見つかりません。10番目ごとの項がこの範囲の外に出てしまうからです。この数列は5を極限にもちません（ほかのどの値も極限にもちません）。

ほかの極限の例

極限をまったくもたない数列の例は a_n = sin n です。次の図に示します。

この数列はどの数にも収束せず、項は増えたり減ったりをくり返します。このような数列は発散する（振動する）といいます。

ここまでは、一方の側から極限に収束する数列を見てきました。しかし、数列は両側から極限に近づくこともあります。次の数列がその例です。

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

この数列も0に収束します。

無限大に発散する場合

ここまでは、数列がある実数に近づく場合、つまり極限値が有限の場合を考えてきました。では、数列 a_n = n はどうでしょうか。この数列はどの実数に近づくでしょうか。グラフを見てください。

明らかに、どの実数にも近づかず、限りなく大きくなっていきます。つまり無限大に向かって増加します。このような数列の極限は無限大で、正の無限大に発散するといいます。この定義は簡単です。数列が無限大に向かって増加するとはどういうことでしょうか。どんなに大きな実数 A を選んでも、その番号より後のすべての項が A より大きくなるような番号 n₀ がいつも見つかる、ということです。要するに、値 A を選ぶと、数列のある部分から先の項はすべてこの A より大きくなります。数学的に書くと次のようになります。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

最初の部分は「すべての A について」、つまり選びたいすべての値についてです。次の存在記号は、ある番号 n₀ が存在しなければならないことを表します。n がこの n₀ より大きければ、項 a_n の値が最初に選んだ値 A より大きくなる、という番号です。負の無限大に発散する場合も、同じように定義します。

極限の計算方法

数列の極限を求める基本的な方法は、すでにいくつか知っています。たとえば数列 a_n = n を少し変えた次のような数列は、

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

正の無限大に発散します。逆に、次のような数列は

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

0に収束します。ここで、数列の極限の計算に使う基本的な性質を紹介します。次が成り立つとします。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

このとき、次の関係も成り立ちます。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

1つ目の公式は、次の例で使えます。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

では、次のような例はどうでしょうか。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

ここで問題が起こります。分子の式も分母の式も、限りなく先では無限大に近づくからです。分子も分母も無限大になると、いわゆる不定形になります。つまり、次の式の値は決められません。

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

この不定形が出てこないように、式を変形するのが目標です。分母か分子から変数 n をなくせれば、無限大が1つだけの式にできるかもしれません。

まず、分子と分母の各項を変数 n で割ります。つまり、分母と分子に 1/n をかけます。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

分母にはもう変数 n がないので、分母の式は限りなく先でも無限大に近づきません。前の公式を使えば、極限全体をいくつかの小さな極限に分け、それぞれの式の極限を別々に計算してから、足したり割ったりできます。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

これで、すべての極限を計算できる形になりました。計算しましょう。

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

この数列の極限は1.5です。

もう1つ例を見てみましょう。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

ここでは、前と同じ手順を使うこともできますし、筋道立てて考えてみることもできます。n² は、関数 n が数列を引き下げるよりずっと速く数列を引き上げます。n² のほうがはるかに強いので、式全体の極限は無限大になります。実際に計算してもみましょう。ここでも各項を n で割ります。

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

なぜ式に出てくる n² ではなく n で割ったのか、少し補足しておきます。目標は、知ってのとおり変数をなくすことです。しかし、分母の値が0になってはいけません。そうなると、また不定形になってしまいます。分母に0が出てこないような式で割る必要があります。この場合は、分母の中で次数がいちばん高い式で割るということでした。

つまり、極限は、桁違いに速く増加するほうの関数で決まるといえます。ただし符号には注意しましょう。無限大を扱うときも、符号はそのまま保たなければなりません。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$