関数のグラフの調べ方

関数のグラフの様子を調べるときは、その関数のふるまいについてできるだけ多くのことを明らかにしようとします。知りたいのは、たとえば増減、つまり関数が増加するか減少するか、あるいはどの区間で増加し、どの区間で減少するかといったことです。さらに、関数の極値、つまり極小値と極大値も知りたいところです。

手順

最初に、ある関数 f が、たとえば f(x) = x² のような式で与えられます。この関数について、できるだけ多くの情報を得るのが目標です。ふつうは次のことを調べます。

1. 関数の定義域と値域を求める。
2. 関数が偶関数か奇関数かを調べる。
3. 関数が有界かどうかを調べる。
4. x 軸と y 軸との交点を求める。y 軸との交点は、x に0を代入して f(0) を計算すれば簡単に求まります。x 軸との交点は、関数全体を0とおいて f(x) = 0 とし、方程式の解をすべて求めれば得られます。
5. 関数の極値を求め、関数の増減を調べる。
6. 変曲点と、下に凸・上に凸の区間を求める。