Формули для роботи з похідними

Кілька корисних формул для обчислення похідних функцій.

Основні формули

Основні формули, які знадобляться майже під час кожного обчислення похідної функції. У лівій частині рівності — початкова функція, у правій — її похідна. Вважаємо, що диференціюємо за x і що c — стала.

$$\begin{eqnarray} c^\prime&=&0\\ x^\prime&=&1\\ (x^c)^\prime&=&cx^{c-1} \end{eqnarray}$$

Додавання, множення і ділення

Нехай f(x), або просто f, і g(x), або просто g, — якісь функції. Тоді можна записати:

$$\begin{eqnarray} (f+g)^\prime&=&f^\prime+g^\prime\\ (c\cdot f)^\prime&=&c\cdot f^\prime\\ (f\cdot g)^\prime&=&f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime\\ \left(\frac{f}{g}\right)^\prime&=&\frac{f^\prime\cdot g-f\cdot g^\prime}{g^2}\\ \end{eqnarray}$$

Окремо маємо похідну складеної функції:

$$\begin{eqnarray} (f(g(x)))^\prime&=&f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x) \end{eqnarray}$$

Логарифми та показникові функції

$$\begin{eqnarray} (c^x)^\prime&=&c^x\ln c;\quad c>0\\ (e^x)^\prime&=&e^x\\ (\log_cx)^\prime&=&\frac{1}{x\cdot \ln c};\quad c>0\wedge c\ne1\\ (\ln x)^\prime&=&\frac{1}{x} \end{eqnarray}$$

Тригонометричні функції

$$\begin{eqnarray} (\sin x)^\prime&=&\cos x\\ (\cos x)^\prime&=&-\sin x\\ (\operatorname{tg} x)^\prime&=&\frac{1}{\cos^2x}\\ (\operatorname{ctg},x)^\prime&=&-\frac{1}{\sin^2x}\\ (\arcsin x)^\prime&=&\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x)^\prime&=&-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\operatorname{arctg} x)^\prime&=&\frac{1}{1+x^2}\\ (\operatorname{arcctg}, x)^\prime&=&-\frac{1}{1+x^2}\\ \end{eqnarray}$$