積分

関数を積分することは、関数を微分することの逆の操作です。

原始関数

簡単な問題から始めましょう。関数 f(x) = 2x があるとします。微分すると関数 f になる関数 F を求めましょう。形式的に書くと、F′ = f となる関数 F を探します。

微分の基本公式から、それは関数 F(x) = x² だとわかります。関数 x² の導関数はちょうど 2x です。問題は、この条件を満たす関数がこれ1つだけかどうかです。

答えは「1つだけではない」です。関数 x² にどんな実数の定数を足しても、微分するとやはり関数 2x になります。定数の導関数は0だからです。c を実数の定数として、x² + c の形の関数はどれも、求める関数 F と考えられます。

この問題は一般化できます。実数の関数 f が与えられたとき、f の定義域のすべての x、または定義域に含まれるある区間のすべての x について、F′(x) = f(x) が成り立つような関数 F を求めます。この関数はただ1つに決まるとは限りません。また、そもそも存在しないこともあります。

この関数 F を、関数 f の原始関数といいます。次のように書きます。

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

関数 f を被積分関数といい、原始関数を求めることを積分するといいます（$\int f(x)dx$ を f の不定積分ともいいます）。記号 dx は、どの変数で積分するかを表します。たとえば、次の式は

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

変数 x で積分して、関数 4x³ の原始関数を求めるという意味です。たとえば、微分するとちょうど 4x³ になる関数 x⁴ がその1つです。もちろん、この関数には任意の実数の定数を足すことができます。

原始関数は存在しないか、いつも c をある実数の定数として F(x) + c の形になることが証明できます。存在する場合、実数の定数は無数にあるので、原始関数も無数にあります。したがって、関数 F(x) が1つ見つかれば、すべての原始関数をつくれます。そして、この方法でつくれないほかの関数は、求める関数の原始関数ではありません。この定数 c を積分定数といいます（日本の教科書では大文字の C で書きます）。

記号 dx についても少し補足しておきます。とても神秘的に見えますが、本当にどの変数で積分するかを表しているだけです。たとえば次の積分があるとき、

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

これは変数 b で積分するということで、ほかの文字 a と c は定数として扱います。つまり、数が書いてあるのと同じようにふるまいます。

基本的な関数の積分

いくつかの基本的な関数について、原始関数を求める公式は簡単に導けます。この節全体で c ∈ ℝ とします。

まず、関数 f(x) = 0、つまり定数関数0から始めます。微分すると0になる関数は何でしょうか。定数だけからなる関数なら、どれでもかまいません。

$$\int 0\text{ d}x=c$$

次は関数 f(x) = 1 です。x′ = 1 なので、1の積分は次のようになります。

$$\int 1\text{ d}x=x+c$$

その次は関数 f(x) = x です。微分して x になるのは、どんな関数でしょうか。x² を微分すると 2x になります。ほぼ求めたいところまで来ました。あとは2で割るだけです。(x²)/2 を微分すれば、ちょうど x になります。

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

これを関数 xⁿ（n ∈ ℝ）に一般化すると、次の公式が得られます。

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

この公式は n = −1 では成り立たないことに注意しましょう。0で割ることになってしまうからです。n = −1 のときは関数 f(x) = x⁻¹、つまり関数 1/x になります。微分して 1/x になるのは、どんな関数でしょうか。対数関数（自然対数）です。

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\log x+c$$

問題は、対数は正の実数でしか定義されないので、この公式が f の定義域のすべての x で成り立つわけではないことです。しかし、区間 (0, ∞) では成り立ちます。区間 (−∞, 0) では、対数の真数の符号を逆にして log(−x) とするだけです。両方を合わせると、次のように書けます。

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\log |x|+c$$

この公式は、f の定義域のすべての x で成り立ちます。三角関数などの積分は、次の表にあります。

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\log a}+c(a>0,a\ne 1)\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\cos x+c\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \sin x+c\end{array}$$

和の積分

関数の導関数を計算するのは、たいていかなり簡単です。ふつうは公式どおりに進めればよいので、よく言われるように訓練されたサルでもできます。しかし、積分は事情が違います。積分を計算する方法はかなり複雑で、そのため積分を求める問題は、導関数を計算するよりずっと難しくなります。おもな理由は、和の積分にはおなじみの公式があっても、積の積分にはないことです。

次の積分を計算してみましょう。

$$\int x+1\text{ d}x$$

どう計算すればよいでしょうか。微分すると x になる関数と、微分すると 1 になる別の関数が必要です。公式から、それは関数 (x²)/2 と x だとわかっています。この2つの関数を足すと f(x) = (x²)/2 + x になります。この関数を微分すると x + 1 になります。これで答えが得られました。

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+c$$

計算の途中で、ある性質を使いました。和の積分は積分の和に等しいという性質です。つまり、次のとおりです。

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

これは引き算でも成り立ちます。

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

そのため、前の例は次のように書き出せたのです。

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

定数をくくり出す

定数を積分の前にくくり出すことについても、同じような定理が成り立ちます。次の形の積分があるとき、

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

a がある実数の定数なら、この定数を積分の前にくくり出すことができます。

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

例題

次の積分を計算しなさい。

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

最初の段階では、3つの積分に分けます。

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

積分を順に計算します。1つ目の積分は、累乗 xⁿ の公式でそのまま計算できます。

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+c$$

2つ目の積分では、まず6をくくり出します。

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

x の積分もまた公式のとおりで、(x²)/2 に等しくなります。したがって、次のようになります。

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+c$$

最後の積分でも、まず 42 をくくり出します。

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

これもまた公式のとおりです。

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+c$$

これらの部分的な積分を足せば、答えが得られます。

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c$$

もう1つ注意しておきます。部分的な積分のそれぞれで定数 c が出てきたので、足し合わせると答えには +c ではなく +3c と書くべきかもしれません。しかし、c は任意の実数の定数なので、3c もやはりある実数になります。部分的な積分の c を c₁, c₂, c₃ と書きかえて、c = c₁ + c₂ + c₃ とすることもできます。