Fórmulas para o trabalho com derivadas

Algumas fórmulas úteis para o cálculo de derivadas de funções.

Fórmulas básicas

Fórmulas básicas que você vai usar em quase todo cálculo da derivada de uma função. Na primeira coluna está a função original e, na segunda, a derivada da função. Supomos que derivamos em relação a x e que c é uma constante.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c{x}^{c-1}\end{array}$$

Soma, multiplicação e divisão

Suponhamos que f(x) (ou simplesmente f) e g(x) (ou g) sejam funções quaisquer. Então podemos escrever:

$$\begin{array}{rcl}(f+g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }+g^{\prime }\\ (c\cdot f{)}^{\prime }& =& c\cdot f^{\prime }\\ (f\cdot g{)}^{\prime }& =& f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }\\ {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }& =& \frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}\end{array}$$

Em particular, temos a derivada da função composta:

$$\begin{array}{rcl}(f(g(x)){)}^{\prime }& =& f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Logaritmos e funções exponenciais

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{c}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln c};c>0\wedge c\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Funções trigonométricas

$$\begin{array}{rcl}(\mathrm{sen}x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\mathrm{sen}x\\ (\mathrm{tg}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\mathrm{cotg}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\mathrm{sen}}^{2}x}\\ (\mathrm{arcsen}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\mathrm{arctg}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{1+x^2}\\ (\text{arccotg}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$