Przemienność

Przemienność to własność działań takich jak na przykład dodawanie. Możemy zauważyć, że przy dodawaniu nie ma znaczenia kolejność, więc 3 + 5 to to samo co 5 + 3. Jakiekolwiek dwie liczby rzeczywiste a i b dodamy (a + b), wynik będzie taki sam, nawet jeśli zamienimy je miejscami (b + a). Jeśli jakieś działanie spełnia ten warunek, mówimy o nim, że jest przemienne.

Przykładem innego działania, które jest przemienne, jest mnożenie, bo 2 · 6 daje ten sam wynik co 6 · 2, i to samo zachodzi dla dowolnych dwóch liczb a, b:

$$\large a\cdot b = b\cdot a$$

Przykładem działania, które nie jest przemienne, jest odejmowanie, bo 7 − 4 to coś innego niż 4 − 7. W pierwszym przypadku dostaniemy wynik 3, w drugim −3. Innym przykładem jest dzielenie, bo 2 / 5 to coś innego niż 5 / 2.

Uważaj jednak na inne własności działań, na przykład na kolejność wykonywania działań. Jeśli mamy wyrażenie 1 + 2 · 3, nie możemy powiedzieć, że to to samo co 2 + 1 · 3. Mnożenie ma bowiem pierwszeństwo przed dodawaniem. Możemy sobie pomóc nawiasami: wyrażenie 1 + 2 · 3 jest tym samym co 1 + (2 · 3). Jeśli chcemy zastosować prawo przemienności dodawania, to możemy, ale musimy wziąć ze sobą cały nawias: 1 + (2 · 3) równa się (2 · 3) + 1, a to równa się (3 · 2) + 1, jeśli zastosujemy jeszcze przemienność mnożenia.

Działania na zbiorach a przemienność

Przemienne mogą być nie tylko działania na liczbach, ale na przykład także działania na zbiorach. Na przykład część wspólna zbiorów A i B jest działaniem przemiennym. Częścią wspólną dwóch zbiorów są „elementy, które należą do obu zbiorów”, czyli

$$\large A\cap B = B\cap A$$

Dokładnie tak samo będzie to działać w przypadku sumy zbiorów A i B, której wynikiem są „elementy, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów”, a więc:

$$\large A\cup B = B\cup A$$

Przemienna nie jest na przykład różnica zbiorów.

Wektory

Jedno z kolejnych działań przemiennych możemy znaleźć wśród działań na wektorach – jest to dodawanie wektorów. Ogólnie dodawanie zazwyczaj jest działaniem przemiennym. W tym przypadku, jeśli mamy dwa wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$, to zachodzi

$$\large\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$$

Graficznie przedstawia to następujący rysunek:

Sumę $\vec{u}+\vec{v}$ przedstawia „górna droga”, gdy najpierw przesuwamy się o czerwony wektor $\vec{u}$, a dopiero potem o niebieski wektor $\vec{v}$. Sumę $\vec{v}+\vec{u}$ przedstawia „dolna droga”: najpierw idziemy drogą niebieskiego wektora $\vec{v}$, a potem czerwonego wektora $\vec{u}$. Wynik jest jednak taki sam, wektory kończą się w tym samym punkcie.

Możesz to sobie wyobrazić tak, jakbyś wyszedł z jakiegoś miejsca i przeszedł pięćdziesiąt metrów na północ, a potem dwadzieścia metrów na zachód. Gdybyś najpierw przeszedł dwadzieścia metrów na zachód, a potem pięćdziesiąt metrów na północ, skończyłbyś w tym samym miejscu. Takie chodzenie jest więc przemienne.

Logika

Do działań przemiennych należą także spójniki logiczne „i” (koniunkcja) oraz „lub” (alternatywa). Oznacza to, że zdanie „liczba 5 jest nieparzysta i jest liczbą pierwszą” ma taką samą wartość logiczną jak zdanie „liczba 5 jest liczbą pierwszą i jest nieparzysta”. Podobnie dla alternatywy: „liczba 6 jest liczbą pierwszą lub jest parzysta” ma taką samą wartość logiczną jak zdanie „liczba 6 jest parzysta lub jest liczbą pierwszą”.

Przemienna nie jest natomiast implikacja, czyli zdanie „jeśli wygram w Lotto, to będę bogaty” to nie to samo co „jeśli będę bogaty, to wygram w Lotto”.