Liczby pierwsze
Liczby pierwsze to liczby, które dzielą się tylko przez jedynkę i przez siebie same. Własności liczb pierwszych wykorzystuje się często na przykład w kryptografii.
Definicja i przykłady
Liczba pierwsza to liczba naturalna, która dzieli się bez reszty tylko przez jedynkę i przez samą siebie, przy czym sama jedynka liczbą pierwszą nie jest. Najmniejszą liczbą pierwszą jest dwójka — dzieli się bez reszty przez jedynkę i przez dwójkę. Jest to zarazem jedyna liczba pierwsza, która jest parzysta. Wszystkie pozostałe liczby pierwsze są nieparzyste, bo każda inna liczba parzysta dzieli się oprócz jedynki i samej siebie jeszcze właśnie przez dwójkę.
Ciąg kilku pierwszych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271…
Liczb pierwszych dotyczy zasadnicze twierdzenie arytmetyki, które mówi, że każdą liczbę całkowitą większą od 1 można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych.
Własności liczb pierwszych
- Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Dowód znajdziesz w artykule o dowodzie nie wprost.
- Dla każdej liczby całkowitej z>1 w przedziale (z, 2z) istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza. Przykład: dla z = 2 mamy przedział (2, 4). Jedyną liczbą całkowitą w tym przedziale jest trójka, a ona jest liczbą pierwszą. Dla z = 5 dostajemy przedział (5, 10), czyli liczby 6, 7, 8, 9. Liczba 7 jest liczbą pierwszą. Podobnie dla większych z.
- Liczba pierwsza Mersenne’a to liczba pierwsza, która jest o jeden mniejsza od pewnej całkowitej potęgi dwójki. Liczba pierwsza Mersenne’a M ma więc postać M = 2z − 1, gdzie z jest pewną liczbą naturalną. Przykładem może być liczba pierwsza 3, bo 22 − 1 = 3. Albo 7, bo 23 − 1 = 7.
- Największe znane liczby pierwsze to zwykle właśnie liczby pierwsze Mersenne’a. Na przykład 23 sierpnia 2008 roku znaleziono liczbę pierwszą Mersenne’a M43112609, gdzie dolny indeks oznacza wykładnik z. Jest to więc liczba pierwsza 243112609−1, która ma 12,978,189 cyfr i była wtedy największą znaną liczbą pierwszą.
Ciąg bez liczb pierwszych
Można znaleźć dowolnie długi skończony ciąg kolejnych liczb naturalnych, wśród których nie ma ani jednej liczby pierwszej. Taki ciąg może mieć postać k!+2, k!+3, …, k!+k i zawiera k − 1 kolejnych liczb złożonych (wykrzyknik oznacza silnię).
Na przykład dla k = 6 dostajemy pięć kolejnych liczb złożonych postaci: 720 + 2, 720 + 3, 720 + 4, 720 + 5, 720 + 6. Liczby te dzielą się kolejno przez dwa, trzy, cztery, pięć i sześć, bo liczba 6! = 720 na pewno dzieli się przez wszystkie te liczby — powstała przecież z ich iloczynu: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2. Jeśli liczba 720 dzieli się przez trzy, to również liczba 720 + 3 musi dzielić się przez trzy. Podobnie z pozostałymi.
Małe twierdzenie Fermata
Dla każdej liczby pierwszej p i dla każdej liczby całkowitej z takiej, że z nie jest wielokrotnością p, liczba zp − z jest podzielna przez liczbę pierwszą p.
Przykład: weźmy liczbę pierwszą p = 3 i liczbę całkowitą z = 4. Cztery nie jest wielokrotnością trzech, więc możemy działać dalej. Obliczamy wartość liczby 43 − 4. Wynosi ona 60. A przy tym 60/3 = 20, czyli trójka dzieli sześćdziesiątkę bez reszty, co zgadza się z twierdzeniem Fermata. Inny przykład: p = 7, z = 10. Obliczamy wynik pośredni 107 − 10 = 9999990 i dzielimy tę liczbę przez siedem: 9999990/7 = 1428570. Znowu wyszło bez reszty.
Nierozwiązane pytania
Liczb pierwszych dotyczy wiele znanych hipotez, których jeszcze (2011) nie udało się ani udowodnić, ani obalić. Do dwóch najbardziej znanych należą:
- Nieskończoność liczb pierwszych bliźniaczych: liczby pierwsze bliźniacze to para liczb (z, z + 2), z których obie są liczbami pierwszymi. Na przykład (3, 5) albo (29, 31). Pytanie brzmi, czy takich par jest nieskończenie wiele. Przypuszcza się, że tak, ale brakuje dowodu.
- Hipoteza Riemanna: wszystkie nietrywialne miejsca zerowe funkcji dzeta Riemanna mają część rzeczywistą równą $\frac12$. Hipoteza wiąże się z rozmieszczeniem liczb pierwszych, należy do tak zwanych problemów milenijnych, a za jej rozwiązanie czeka nagroda w wysokości miliona dolarów.