Łączność

Łączność to własność działań takich jak na przykład dodawanie albo mnożenie. Przyjrzyj się dwóm następującym zapisom dodawania:

$$(1 + 2) + 3\qquad \qquad 1 + (2 + 3)$$

Wyrażenia różnią się tylko tym, gdzie stoi nawias. Ale czy różnią się wyniki? Oba wyrażenia prowadzą do tego samego wyniku, suma zawsze wynosi 6. Jeśli umiejscowienie nawiasów nie ma wpływu na wynik, mówimy, że działanie jest łączne. Dokładniej możemy napisać, że działanie $a \circ b$ jest łączne, jeśli zachodzi

$$(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$$

Innym działaniem, które jest łączne, jest mnożenie, bo zachodzi

$$(2\cdot3)\cdot4 = 2\cdot(3\cdot4)=24$$

Działania, które nie są łączne

Odejmowanie nie jest łączne. Weźmy na przykład wyrażenie (10 − 4) − 3. Najpierw obliczymy różnicę w nawiasie i wyjdzie nam 6 − 3, co jest równe 3. Jeśli jednak spróbujemy obliczyć 10 − (4 − 3), to znowu najpierw obliczymy zawartość nawiasu i dostaniemy 10 − 1, czyli 9. Odejmowanie nie jest więc łączne.

Podobnie nie jest łączne dzielenie. Weźmy na przykład wyrażenie (64 / 4) / 2. Najpierw obliczymy nawias i dostaniemy 16/2, czyli 8. Jeśli jednak postawimy nawias gdzie indziej, dostaniemy 64 / (4 / 2), a po obliczeniu nawiasu mamy 64 / 2, czyli 32. Dzielenie nie jest więc łączne.

Innym typowym działaniem, które nie jest łączne, jest potęgowanie:

$$\left(2^3\right)^4 \ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Łączność dotyczy jednego działania!

Uważaj: łączność zawsze dotyczy jednego działania. Jeśli wyrażenie z trzema liczbami nie zawiera dwa razy tego samego działania, nie możemy zastosować prawa łączności. Na przykład:

$$(1+2)\cdot3$$

to wyrażenie zawiera dwa działania – dodawanie i mnożenie. Oba działania same w sobie są łączne, ale mimo to w tej chwili nie możemy zastosować prawa łączności, nie możemy tego przekształcić na

$$1+(2\cdot3)$$

bo wyrażenie zawiera dwa różne działania. Żeby można było zastosować prawo łączności, oba działania musiałyby być dodawaniem albo oba mnożeniem.

Część wspólna i suma zbiorów

Część wspólna zbiorów jest działaniem łącznym. Na przykład wyrażenie

$$(\left\{1{,}2,3\right\} \cap \left\{1{,}3,5\right\}) \cap \left\{1{,}5,7\right\}$$

najpierw przekształcilibyśmy, obliczając część wspólną zbiorów w nawiasie, do postaci

$$\left\{1{,}3\right\} \cap \left\{1{,}5,7\right\}$$

A część wspólna tych zbiorów jest równa {1}. Gdybyśmy przestawili nawiasy, dostalibyśmy

$$\left\{1{,}2,3\right\} \cap (\left\{1{,}3,5\right\} \cap \left\{1{,}5,7\right\})$$

a po obliczeniu nawiasu:

$$\left\{1{,}2,3\right\} \cap \left\{1{,}5\right\}$$

I znowu dostalibyśmy {1}. Widzimy, że umiejscowienie nawiasów nie ma znaczenia, dlatego część wspólna zbiorów jest łączna. Podobnie łączna jest suma zbiorów.

Składanie słów / konkatenacja

Wyobraź sobie, że mamy działanie dodawania dla kawałków słów, które oznacza po prostu ich sklejenie. Czyli „kom” + „puter” byłoby równe słowu „komputer”. Takie działanie byłoby łączne. Na przykład gdybyśmy napisali („ża” + „rów”) + „ka”, to najpierw przez dodanie w nawiasie dostalibyśmy „żarów” + „ka”, co dałoby nam słowo „żarówka”. Gdybyśmy przestawili nawiasy: „ża” + („rów” + „ka”), po dodaniu w nawiasie dostalibyśmy „ża” + „rówka”, co znowu dałoby nam słowo „żarówka”.

Maksimum albo minimum jest łączne

Wyobraźmy sobie działanie $a \lor b$, które zwraca większą z dwóch liczb. Takie działanie byłoby łączne. Na przykład $(5 \lor 10) \lor 7$ przekształcilibyśmy na $10 \lor 7$, a to byłoby równe 10. Dziesiątka jest z tych trzech liczb największa. Gdybyśmy przestawili nawiasy, dostalibyśmy $5 \lor (10 \lor 7)$, po przekształceniu $5 \lor 10$, czyli znowu 10.

Minimum zachowywałoby się dokładnie tak samo.