Rozdzielność

Rozdzielność to własność dwóch działań dwuargumentowych, na przykład dodawania i mnożenia. W przypadku mnożenia i dodawania rozdzielność mówi nam, że możemy „wymnożyć nawias”. Jeśli na przykład mamy wyrażenie

$$2\cdot(3+4)$$

to wiemy, że możemy wymnożyć nawias, dzięki czemu dostaniemy inne wyrażenie

$$2\cdot(3+4) = 2\cdot3+2\cdot4$$

Oba wyrażenia prowadzą przy tym do tego samego wyniku, do liczby 14. Takie wymnożenie mogliśmy wykonać dlatego, że mnożenie jest w zbiorze liczb rzeczywistych rozdzielne względem dodawania. Ogólnie, jeśli mamy dwa działania · i +, mówimy, że działanie · jest w zbiorze M rozdzielne względem działania +, jeśli zachodzi

$$\begin{eqnarray} a\cdot(b+c) &=& (a\cdot b) + (a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a &=& (b\cdot a) + (c\cdot a) \end{eqnarray}$$

dla wszystkich a, b, c ∈ M. Innym przykładem działań rozdzielnych są na przykład działania rachunku zdań: koniunkcja ∧ i alternatywa ∨. Wyobraźmy sobie, że mamy zdania A, B i C. Jeśli powiemy „A i (B lub C)”, zapiszemy to jako

$$A \wedge (B \vee C)$$

A ponieważ koniunkcja jest rozdzielna względem alternatywy, zachodzi jednocześnie

$$(A \wedge B) \vee (A \wedge C)$$

Czyli słownie: „(A i B) lub (A i C)”. Żeby mieć też przykład działań, które rozdzielne nie są, weźmy na przykład dodawanie i odejmowanie:

$$10-(5+3)$$

Poprawny wynik to oczywiście 2, bo po dodaniu w nawiasie dostajemy 10 − 8, czyli 2. Gdybyśmy do tego obliczenia zastosowali prawo rozdzielności, dostalibyśmy wyrażenie:

$$(10-5)+(10-3)$$

Po obliczeniu nawiasów mielibyśmy 5 + 7, czyli 12. Widzimy, że dostaliśmy zły wynik, dodawanie i odejmowanie nie są więc rozdzielne.

Inne przykłady: niektóre działania na macierzach spełniają prawo rozdzielności. Wektory w przestrzeni liniowej również. Działania w ciele muszą być rozdzielne.