Funkcje trygonometryczne

W tym artykule zajmiemy się funkcjami trygonometrycznymi. Słowo trygonometria pochodzi z greki: „trigonon” to trójkąt, a „metron” to miara, czyli chodzi o mierzenie trójkątów, a dokładniej ich boków i kątów. Znamy cztery podstawowe funkcje trygonometryczne — sinus, cosinus, tangens i cotangens.

Podstawowe pojęcia związane z trójkątem

Funkcje trygonometryczne dotyczą kątów w trójkącie, dlatego w tej części przypomnimy sobie pojęcia związane z trójkątem.

Na rysunku widać trójkąt utworzony przez wierzchołki A, B i C; jest to więc trójkąt ABC. Ma trzy boki: AB, BC, AC. Zauważ, że boki są dodatkowo oznaczone małymi literami. To oznaczenie ma swoją regułę — naprzeciw wierzchołka A leży bok a, naprzeciw wierzchołka B bok b, a naprzeciw wierzchołka C bok c. Od danego wierzchołka bierze więc zawsze nazwę bok leżący naprzeciw niego, czyli ten bok, do którego ten wierzchołek nie należy.

Każdy trójkąt ma trzy kąty wewnętrzne, które zwykle oznaczamy greckimi literami alfa α, beta β i gamma γ. Suma wszystkich trzech kątów wewnętrznych zawsze wynosi 180 stopni. Przy wierzchołku A leży zwykle kąt alfa, przy B beta, a przy C gamma.

Choć funkcji trygonometrycznych można w jakiś sposób używać w dowolnym trójkącie, często pracujemy tylko z trójkątem prostokątnym. Trójkąt prostokątny to taki trójkąt, który ma jeden kąt prosty, czyli kąt o mierze 90 stopni. Wygląda na przykład tak:

Boki trójkąta prostokątnego mają specjalne nazwy. Najdłuższy bok leży naprzeciw kąta prostego i nazywa się przeciwprostokątna (niebieski bok na rysunku). Dwa krótsze boki to przyprostokątne (czerwone boki). Właśnie ten trójkąt będzie nas w tym artykule interesował najbardziej.

Nazwy przyprostokątnych względem kąta

Przejdźmy stopniowo do pierwszej funkcji trygonometrycznej, czyli do sinusa. Wszystkie funkcje trygonometryczne pokazują związek między jakimś kątem w trójkącie a stosunkiem długości dwóch boków. Zazwyczaj nie chodzi przy tym o kąt prosty, tylko o dwa pozostałe kąty. Na wejściu funkcji trygonometrycznej jest więc miara kąta, a na wyjściu stosunek długości dwóch boków. Poszczególne funkcje różnią się tym, z których boków korzystają.

Sinus korzysta z przyprostokątnej przeciwległej i przeciwprostokątnej. Co to jest przyprostokątna przyległa i przeciwległa względem danego kąta, pokazuje poniższy rysunek.

Na rysunku patrzymy na kąt beta, czyli z kątem przy wierzchołku B. Czarny bok to przeciwprostokątna – ta pozostaje bez zmian. Bok c zaznaczony na czerwono to przyprostokątna przyległa, bo przylega do kąta beta. Bok b zaznaczony na niebiesko to przyprostokątna przeciwległa, bo leży naprzeciw kąta beta. Ważne jest, że te pojęcia zawsze odnoszą się do konkretnego kąta. Jeśli spojrzymy na rysunek z punktu widzenia kąta gamma, otrzymamy taki wynik:

Funkcja sinus

Sinus kąta alfa jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej przeciwległej do długości przeciwprostokątnej. Co to znaczy? Jeśli obliczymy (na przykład na kalkulatorze) sinus kąta alfa, otrzymamy wartość ilorazu

$$\sin(\alpha)=\frac{\mbox{Długość przyprostokątnej przeciwległej}}{\mbox{Długość przeciwprostokątnej}}$$

Sprawdźmy to na tym trójkącie dla kąta beta: To ładny trójkąt, długości jego boków to: |a| = 5, |b| = 3 i |c| = 4. Przyprostokątna przeciwległa do kąta beta to bok b, przeciwprostokątna to bok a. Obliczamy iloraz b/a, czyli 3/5, co daje 0,6. Sinus kąta beta jest więc równy 0,6. Kąt beta ma miarę $36^\circ 52^\prime$; jeśli wpiszesz ten kąt do kalkulatora i obliczysz sinus, otrzymasz właśnie 0,6 (po drobnym zaokrągleniu).

Do czego się to przydaje

Przydaje się to wtedy, gdy znasz jeden kąt i długość jednego boku, a potrzebujesz obliczyć pozostałe boki.

Najpierw zapiszemy, co właściwie wiemy. Znamy kąt alfa. Wiemy, że sinus tego kąta jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej (czyli boku a) do przeciwprostokątnej (boku b). Zapisane matematycznie:

$$\sin(\alpha)=\frac{|a|}{|b|}$$

Sinus kąta znamy, a dokładniej umiemy go obliczyć, długość boku a też znamy. Jedyne, czego nie znamy, to długość boku b. Właśnie tę zmienną będziemy się więc starali wyznaczyć. Najpierw pomnożymy równanie przez długość boku b. Otrzymamy

$$|b|\cdot\sin(\alpha)=|a|$$

a teraz wystarczy podzielić równanie przez sin(α) i dostajemy żądaną postać z długością boku b po lewej stronie:

$$|b|=\frac{|a|}{\sin(\alpha)}.$$

Długość boku a znamy, wynosi trzy. Sinus trzydziestu stopni jest równy jednej drugiej. Podstawiamy:

$$|b|=\frac{3}{0{,}5}=6$$

Bok b ma długość sześć.

Funkcja cosinus

Cosinus jest bardzo podobny do sinusa. Pojęcia związane z cosinusem są takie same jak w poprzedniej części, więc przejdźmy od razu do definicji:

Cosinus kąta alfa jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej przyległej do długości przeciwprostokątnej. Jeśli więc obliczymy na kalkulatorze cosinus kąta alfa, otrzymamy wartość ilorazu

$$\cos(\alpha)=\frac{\mbox{długość przyprostokątnej przyległej}}{\mbox{długość przeciwprostokątnej}}.$$

Różnicę między sinusem a cosinusem przejrzyście pokazuje poniższy rysunek:

Obie funkcje wykorzystują przeciwprostokątną trójkąta, ta zostaje czarna. Sinus korzysta z przyprostokątnej przeciwległej, czyli — względem kąta alfa — z czerwonego boku BC. Cosinus korzysta z przyprostokątnej przyległej, czyli z niebieskiego boku AB.

Wróćmy do przykładu z poprzedniej części. Mieliśmy obliczyć długość przeciwprostokątnej, znając długość boku a. Spróbujmy teraz obliczyć długość boku c, gdy znamy kąt alfa i długość przeciwprostokątnej, którą właśnie obliczyliśmy w poprzednim przykładzie: b = 6.

Co wiemy? Kąt alfa ma miarę 30 stopni, długość boku b wynosi sześć, a cosinus podaje stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej. Przyprostokątna przyległa to bok c, czyli ten bok, którego długość chcemy obliczyć. Zapisujemy:

$$\cos(\alpha)=\frac{|c|}{|b|}$$

Musimy z równania wyznaczyć |c|. Zrobimy to tak, że pomnożymy równanie przez długość boku b, dzięki czemu po prawej stronie zostanie nam tylko długość boku c:

$$|b|\cdot\cos(\alpha)=|c|$$

Wystarczy zamienić strony:

$$|c|=|b|\cdot\cos(\alpha)$$

Po prawej stronie mamy wyrażenia, które albo znamy, albo umiemy obliczyć. Cosinus trzydziestu stopni wynosi w przybliżeniu 0,866. Podstawiamy do równania:

$$|c|=6\cdot0{,}866=5{,}196$$

To jest długość boku c. Jak zobaczymy dalej, cosinus trzydziestu stopni należy do wartości, które warto znać na pamięć (są w tabeli na końcu artykułu), i jest równy

$$\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}(=0{,}866025\ldots),$$

więc poprzednią długość możemy podać dokładnie:

$$|c|=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Tangens i cotangens

Istnieją jeszcze dwie kolejne funkcje trygonometryczne, tangens i cotangens. Główna różnica w porównaniu z poprzednimi funkcjami trygonometrycznymi polega na tym, że tangens i cotangens wykorzystują tylko przyprostokątne, bez przeciwprostokątnej.

Tangens kąta alfa jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej przeciwległej do długości przyprostokątnej przyległej. Tangens oznaczamy w polskiej szkole jako tg, na kalkulatorach i w źródłach zagranicznych spotkasz też zapis tan.

$$\operatorname{tg}(\alpha)=\frac{\mbox{Długość przyprostokątnej przeciwległej}}{\mbox{Długość przyprostokątnej przyległej}}$$

Cotangens kąta alfa jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej przyległej do długości przyprostokątnej przeciwległej. W polskiej szkole cotangens oznaczamy jako ctg, w innych źródłach spotkasz też zapis cot albo cotan.

$$\operatorname{ctg}(\alpha)=\frac{\mbox{Długość przyprostokątnej przyległej}}{\mbox{Długość przyprostokątnej przeciwległej}}$$

Pojęcia są znowu takie same jak w poprzednich częściach i dalsza praca z funkcjami też wygląda tak samo. Wróćmy do poprzedniego przykładu i spróbujmy obliczyć długość boku c tylko na podstawie miary kąta alfa i długości boku a, która wynosi a = 3.

Tangens to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyprostokątnej przyległej, więc matematycznie zapiszemy to tak:

$$\operatorname{tg}(\alpha)=\frac{|a|}{|c|}$$

Musimy obliczyć długość boku c, więc z tego równania trzeba wyznaczyć wyrażenie |c|. Pomnożymy przez |c| i podzielimy przez $\operatorname{tg}(\alpha)$, podobnie jak w poprzednich przykładach.

$$\begin{eqnarray} \operatorname{tg}(\alpha)&=&\frac{|a|}{|c|}\quad/\cdot |c|\\ |c|\cdot\operatorname{tg}(\alpha)&=&|a|\quad/:\operatorname{tg}(\alpha)\\ |c|&=&\frac{|a|}{\operatorname{tg}(\alpha)} \end{eqnarray}$$

Podstawiamy do prawej strony, przy czym tangens trzydziestu stopni wynosi w przybliżeniu 0,5773.

$$|c|=\frac{3}{0{,}5773}=5{,}196.$$

Również tangens trzydziestu stopni ma dokładną wartość z tabeli:

$$\operatorname{tg}(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

więc poprzednie obliczenie możemy wykonać dokładnie:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów

Sinus, cosinus, tangens i cotangens mają dla niektórych ładnych kątów ładne wartości. Oto ich podstawowe zestawienie:

$$ \LARGE \begin{matrix} &\sin&\cos&\operatorname{tg}&\operatorname{ctg}\\ 0^\circ&0&1&0&\times\\ 30^\circ&\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{3}&\sqrt{3}\\ 45^\circ&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&1&1\\ 60^\circ&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac12&\sqrt{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\ 90^\circ&1&0&\times&0 \end{matrix} $$

Zobacz też

Powiązane pojęcia na naszej stronie:

• Kąt skierowany
• Radian