Funkcje cyklometryczne

Żeby podstawowe funkcje trygonometryczne miały sens, trzeba zdefiniować także funkcje do nich odwrotne. Nazywamy je funkcjami cyklometrycznymi albo funkcjami arcus, a dokładniej chodzi o arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arcus cotangens. W skrócie piszemy arcsin, arccos, arctg i arcctg (w innych źródłach i na kalkulatorach spotkasz też zapis arctan i arccot).

Motywacja

Zacznijmy od przykładu. Oblicz miarę kąta alfa:

Znamy długości dwóch boków trójkąta: boku b = 3 i boku a = 6. Mamy obliczyć kąt alfa — bok a jest przeciwprostokątną, a bok b jest przyprostokątną przeciwległą do kąta alfa. Przyprostokątną przeciwległą wykorzystuje funkcja sinus, a dokładniej: sinus kąta alfa jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej przeciwległej do długości przeciwprostokątnej. Spróbujmy więc podstawić do wzoru:

$$\sin(\alpha)=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac12$$

Teraz wiemy, że sinus kąta alfa jest równy jednej drugiej. Pytanie brzmi: jak na podstawie tej liczby otrzymać kąt? Do tego potrzebujemy funkcji odwrotnej do funkcji sinus. Funkcja sinus bierze na wejściu kąt i zwraca stosunek długości dwóch boków. My jednak potrzebujemy teraz funkcji, do której wstawimy stosunek, a wyjdzie nam kąt.

Właśnie do tego służą funkcje arcus. Zanim porządnie zdefiniujemy, czym właściwie są, dokończmy przykład z pomocą Google'a, który podpowie nam, że arcsin jednej drugiej to 30 stopni. Jeśli chcesz obliczyć ten sam przykład na kalkulatorze, arcus sinus bywa tam często oznaczony jako sin⁻¹.

Funkcja odwrotna do sinusa?

Najpierw przyjrzyj się wykresowi funkcji sinus:

Teraz przypomnimy sobie kilka własności funkcji. Funkcja f ma funkcję odwrotną, jeśli jest różnowartościowa. Co to znaczy? Że jeśli weźmiemy dwa różne elementy x₁ i x₂ z dziedziny, to ich wartości f(x₁) i f(x₂) muszą być różne. Musi to zachodzić dla wszystkich możliwych par. Łatwo to odczytać z wykresu — jeśli da się poprowadzić prostą równoległą do osi x tak, żeby przecięła wykres funkcji f więcej niż raz, to ta funkcja nie jest różnowartościowa.

Dla funkcji sinus taką prostą oczywiście znajdziemy. Na przykład sama oś x przecina wykres funkcji sinus więcej niż raz, a dokładniej nieskończenie wiele razy. Funkcja sinus nie jest więc różnowartościowa i dlatego nie istnieje do niej funkcja odwrotna.

Funkcja odwrotna do zawężenia funkcji sinus

Z poprzedniej części wiemy, że do funkcji sinus nie istnieje funkcja odwrotna. Z pierwszej części wiemy jednak, że istnieje jakaś funkcja arcsin, która zachowuje się dokładnie tak, jak chcemy. Jak to osiągnęliśmy? Wybraliśmy z funkcji sinus tylko tę część, która jest różnowartościowa, i do takiego zawężenia funkcji możemy już zdefiniować funkcję odwrotną.

Funkcję sinus zawęzimy, zmniejszając jej dziedzinę. Jaki podzbiór pierwotnej dziedziny (liczb rzeczywistych) wybrać? Podzbiorów możemy wybrać wiele, ale najlepszym wyborem jest przedział

$$\left<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right>$$

Ten przedział jest pokazany na poniższym rysunku:

Na tej dziedzinie potrafimy już zdefiniować funkcję odwrotną, bo na tym przedziale funkcja sinus jest różnowartościowa. Wykres funkcji odwrotnej jest symetryczny do wykresu pierwotnej funkcji względem dwusiecznej I i III ćwiartki, więc możemy już narysować wykres funkcji odwrotnej do naszego zawężenia funkcji sin(x). Przyjrzyj się rysunkowi:

Na niebiesko jest narysowany pierwotny sinus. Na czerwono jest wyróżniona ta część funkcji, do której szukamy funkcji odwrotnej. Na zielono jest pokazana funkcja odwrotna, którą oznaczamy arcsin albo po prostu asin.

Dziedzina i zbiór wartości funkcji arcsin

Na tych dwóch funkcjach można ładnie zilustrować zamianę dziedziny i zbioru wartości. Spójrz na poniższy rysunek: są na nim te same wykresy w tych samych kolorach, tylko trochę powiększone i z dodanymi liniami i punktami:

Zauważ, że dziedziną zawężenia funkcji sinus (czerwona linia) był przedział

$$\left<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right>$$

Przez dziedzinę rozumiemy wszystkie x, dla których funkcja jest określona. My określiliśmy ją właśnie tylko na tym przedziale, żeby otrzymać funkcję różnowartościową. Na wykresie szukamy tych x na osi x.

Teraz zobacz, jak wygląda zbiór wartości funkcji arcsin (zielona linia). Zbiór wartości to wszystkie y, które funkcja może zwrócić na wyjściu, czyli szukamy ich na osi y. Zbiorem wartości funkcji arcsin jest znowu przedział

$$\left<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right>$$

To ogólna własność funkcji odwrotnej, więc nikogo nie powinna zaskoczyć. Podobnie jest ze zbiorem wartości zawężenia funkcji sinus i z dziedziną funkcji arcsin. Zbiorem wartości funkcji sinus jest przedział od minus jedynki do jedynki. Sinus może zwrócić tylko takie wartości — sinus żadnego kąta nie jest większy niż jeden ani mniejszy niż minus jeden. A skoro sinus żadnego kąta nie może być większy niż jeden, to logiczne, że funkcja odwrotna też nie może przyjąć na wejściu wartości większej niż jeden. Dlatego dziedziną funkcji arcsin jest przedział <−1,1>.

Arcus cosinus

Teraz już tylko krótko o funkcji odwrotnej do cosinusa. Z tego samego powodu co przy funkcji sinus nie istnieje tu funkcja odwrotna, bo funkcja nie jest różnowartościowa. Możemy jednak wybrać podzbiór dziedziny i otrzymać w ten sposób funkcję różnowartościową.

Na niebiesko jest zaznaczony wykres funkcji cosinus, czerwona część to zawężenie tej funkcji do dziedziny <0,π>. Zielona linia przedstawia wykres funkcji arccos(x), czyli funkcji odwrotnej do naszego zawężenia funkcji cosinus.

Arcus tangens

Wykres funkcji tangens wygląda następująco:

Wykres ma inny kształt niż poprzednie funkcje, ale nadal nie jest różnowartościowy. Znowu jednak możemy zawęzić tę funkcję i wybrać taką część, która różnowartościowa będzie. Wybierzemy przedział otwarty

$$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$

Funkcja odwrotna ma wtedy następujący kształt:

Arcus cotangens

Wszystko tak samo jak w poprzednich akapitach. Wykres funkcji cotangens: Dziedziną zawężenia funkcji cotangens będzie przedział otwarty (0,π).