Jak rozwiązywać ciągi liczbowe

Ciągi liczbowe pojawiają się w najróżniejszych testach logicznych. Dostajesz kilka kolejnych liczb, a twoim zadaniem jest dopisać liczbę, która powinna logicznie wystąpić jako następna. W tym artykule pokażemy, jak takie ciągi liczbowe rozwiązywać.

Treść zadania

Klasyczne zadanie z ciągiem liczbowym wygląda tak:

$$2, 4, 6, 8, 10, ?$$

Twoim zadaniem jest znaleźć liczbę, którą można wstawić w miejsce znaku zapytania tak, żeby miało to jak największy sens. Musisz więc odkryć jakąś charakterystyczną zależność między podanymi liczbami i za jej pomocą obliczyć brakującą liczbę. W tym przypadku wynikiem będzie liczba 12, bo każda liczba w ciągu jest zawsze o 2 większa od poprzedniej.

Rozwiązanie nie zawsze musi być jednoznaczne. Można powiedzieć, że w miejsce znaku zapytania wolno wstawić dowolną liczbę, jeśli tylko potrafimy taki wybór uzasadnić.

Dodawanie i mnożenie

Do najprostszych należą ciągi, w których po prostu dodaje się jakąś liczbę. Przykłady:

$$3, 10, 17, 24, ?$$

Tutaj zawsze dodajemy 7, więc w miejscu znaku zapytania będzie 31. Kolejny przykład:

$$-8, -5, -2, 1, ?$$

Zawsze dodajemy 3, następną liczbą w ciągu będzie 4. Kolejny przykład:

$$17, 8, -1, -10, ?$$

W tym ciągu dodajemy −9, czyli odejmujemy 9. Następna będzie −19. Kolejny przykład:

$$2, 4, 8, 16, ?$$

Tu już nie dodajemy, tylko mnożymy. Każda liczba jest dwa razy większa od poprzedniej, więc wynikiem będzie 32. Kolejny przykład:

$$27, 9, 3, 1, ?$$

W tym ciągu odwrotnie – dzielimy, i to przez trzy. Wynikiem będzie $\frac13$. Dodawana liczba nie musi też być stała:

$$2, 4, 7, 9, 12, ?$$

Na przemian dodajemy +2 i +3. Czyli do 2 dodajemy +2 i dostajemy 4. Potem dodajemy +3 i mamy 7. Itd. Do 12 dodajemy 2 i mamy 14. Kolejny przykład:

$$5, 6, 8, 11, 15, 20, ?$$

W tym ciągu dodajemy zawsze liczbę o jeden większą niż w poprzednim kroku, a zaczynamy od +1. Czyli 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11 itd. Na końcu dodajemy 6, więc wynikiem jest 20 + 6 = 26. Kolejny przykład:

$$1, 2, 6, 12, 36, 72, ?$$

Na przemian mnożymy przez dwa i przez trzy. 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 6 · 2 = 12 itd. Na końcu mnożymy przez trzy, więc wynikiem jest 216.

Przeplatanie ciągów

Ciągi i działania możemy dalej łączyć. Możemy na przykład raz dodawać, a raz mnożyć:

$$3, 12, 14, 56, 58, 232, ?$$

Tutaj najpierw mnożymy przez cztery, a w następnym kroku dodajemy dwa. Czyli: 3 · 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 · 4 = 56 itd. Na końcu dodajemy dwa, więc wynikiem jest 234. Podobny przykład:

$$3, 9, 5, 15, 11, 33, 29, ?$$

Najpierw mnożymy przez trzy, potem odejmujemy cztery. Czyli: 3 · 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 · 3 = 15 itd. Na końcu mnożymy przez trzy, wynikiem jest 87.

Ciągi można też połączyć tak, że w jednym ciągu kryją się właściwie dwa, a każdy ma własną charakterystyczną regułę. Przykład:

$$2, 1, 4, 6, 8, 11, 16, 16, 32, ?$$

Na miejscach nieparzystych mamy znany ciąg 2, 4, 8, 16, 32, czyli każda liczba jest dwa razy większa od poprzedniej, a na miejscach parzystych mamy ciąg 1, 6, 11, 16, ?. To ciąg, w którym zawsze dodaje się piątkę. Wynikiem jest więc liczba 16 + 5 = 21. Jeszcze jeden przykład:

$$2, 7, 3, 11, 5, 15, 8, 19, 12, ?$$

W tym ciągu możemy znaleźć dwa podciągi. Na miejscach nieparzystych mamy 2, 3, 5, 8, 12, czyli ciąg, w którym zawsze dodajemy liczbę o jeden większą niż w poprzednim kroku. A na parzystych mamy: 7, 11, 15, 19, ?. Tu po prostu dodajemy czwórkę. Wynikiem jest 23.

Klasyczne ciągi

Istnieje kilka klasycznych ciągów, o których warto wspomnieć. Zaczynamy:

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … – ciąg kwadratów kolejnych dodatnich liczb naturalnych. Inaczej zapisany: 1², 2², 3², 4², 5², … Jeśli w ciągu zobaczysz którąś z tych liczb, zwłaszcza tych większych, jest spora szansa, że chodzi właśnie o drugą potęgę.

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … – to znany ciąg Fibonacciego. Każda liczba jest sumą dwóch poprzednich. Czyli od końca: 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5 itd. Dwie pierwsze liczby, zero i jedynka, są ustalone z góry.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … – ciąg liczb pierwszych. Uważaj tylko na to, że jedynka nie jest liczbą pierwszą.

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … – ciąg silni. Liczba na n-tym miejscu jest równa iloczynowi 1 · 2 · 3 · … · n. Na przykład na czwartym miejscu stoi liczba 24, bo 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Inne typy ciągów

Przykład:

$$17, 3, 6, 14, -3, 23, 19, ?$$

Rozwiązanie polega na tym, że gdy dodamy liczby z pierwszego i drugiego miejsca, dostaniemy dwadzieścia: 17 + 3 = 20. Tak samo dla kolejnych par: 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. W miejscu znaku zapytania powinna więc stać jedynka. Kolejny przykład:

$$?, 7, 12, 4, 5, 9, 6, -1, 5$$

W tym ciągu dzielimy liczby na trójki a, b, c, w których zachodzi a + b = c. Czyli ?+7 = 12 i 4 + 5 = 9. W miejsce znaku zapytania pasuje więc 5. Kolejny przykład:

$$2, 4, 10, 28, ?$$

Tutaj połączyliśmy dwa działania: mnożenie i odejmowanie. Następną liczbę dostaniemy, mnożąc poprzednią przez trzy i odejmując jeszcze dwa. Mamy więc: 4 = 2 · 3 − 2, 10 = 4 · 3 − 2, 28 = 10 · 3 − 2. Następna w ciągu jest 28 · 3 − 2 = 82.