✖

Symbole matematyczne

Matematyka jest pełna najróżniejszych symboli, w których zwykły śmiertelnik łatwo się gubi. Ten artykuł stara się omówić i wyjaśnić przynajmniej te podstawowe symbole, które możesz spotkać na każdym matematycznym kroku.

Lista symboli

  • +, −, · , /: podstawowe symbole zwykłych działań – dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Jako znak mnożenia często używa się gwiazdki: * albo zwykłej kropki „.”. Trudno powiedzieć, które oznaczenie jest poprawne – standardy, normy typograficzne i zwyczaje nie są zgodne. Najczęściej, jeśli pozwala na to oprogramowanie, używa się kropki na środku wysokości wiersza: · . Do dzielenia używa się albo wspomnianej kreski ukośnej, albo dwukropka :, ewentualnie dwukropka z kreską pośrodku: ÷. W polskiej szkole dzielenie zapisuje się najczęściej dwukropkiem (12 : 4 = 3), a kreska ukośna pojawia się głównie w kalkulatorach i programach komputerowych.

  • (), [], {}: trzy rodzaje nawiasów. Mają różne zastosowania. Nawiasy okrągłe wyznaczają kolejność wykonywania działań i grupują wyrażenia. Gdyby na przykład napisać:

    $$ 1+2/3+4 $$

    nie byłoby pewne, o co chodzi. Tak zapisane wyrażenie oznacza bowiem jeden plus dwie trzecie plus cztery. Jeśli chcesz z tego zrobić jeden duży ułamek, użyjesz nawiasów okrągłych:

    $$ (1+2)/(3+4) $$

    Nawiasów kwadratowych używa się na przykład do zapisu współrzędnych wektora: wektor o współrzędnych 10 i 12 zapiszemy jako [10, 12]. Współrzędne punktu w polskiej szkole zapisuje się w nawiasach okrągłych – punkt o współrzędnych x = 10 i y = 12 zapiszesz jako (10, 12). (W Czechach i na Słowacji punkt zapisuje się w nawiasach kwadratowych.)

  • ⟨a, b⟩, (a, b): nawiasy przy przedziałach. W polskiej szkole przedział domknięty zapisuje się w nawiasach kątowych ⟨a, b⟩, a otwarty w okrągłych (a, b). W literaturze zagranicznej przedział domknięty zapisuje się często w nawiasach kwadratowych [a, b], a otwarty niekiedy jako ]a, b[.

  • x2: indeks górny służy do zapisu potęg. Wyrażenie x2 można rozpisać jako x · x. Wyrażenie w indeksie górnym nazywamy wykładnikiem.

  • $\sqrt{}$: znak pierwiastka. Oznacza funkcję odwrotną do potęgowania. Dla pierwiastka zachodzi:

    $$ \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x $$

  • % to znak procentu i także w matematyce używa się go do obliczeń z procentami. Nic bardziej skomplikowanego się za nim nie kryje.

  • $\approx$: „w przybliżeniu równa się”. Używa się go przy zaokrąglaniu, na przykład $\pi \approx 3,14$. W Czechach zamiast niego pisze się zwykle $\doteq$.

  • |x|: pionowe kreski oznaczają wartość bezwzględną. Wartość bezwzględna z liczby ujemnej robi liczbę dodatnią. Na przykład: |−5| = 5. Pionowe kreski mogą też w geometrii oznaczać odległość między dwoma punktami. Jeśli mamy punkty A i B, to odległość między nimi oznaczymy |AB|.

  • !: wykrzyknik oznacza silnię. Silnia liczby n to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Wykrzyknik zapisujemy za wyrażeniem, którego silnię chcemy obliczyć. Przykład: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

  • π to typowa stała matematyczna. π, czytane „pi”, to ludolfina. Najczęściej używa się jej w trygonometrii i geometrii, bo za pomocą liczby pi oblicza się na przykład obwód i pole koła. Znak π jest literą alfabetu greckiego. Jego przybliżona wartość to 3,1415… Ponieważ jest to liczba niewymierna, nie da się zapisać wszystkich jej cyfr.

  • e to kolejna ważna stała matematyczna, liczba Eulera. Nazwano ją na cześć Leonharda Eulera, wybitnego szwajcarskiego matematyka. Liczby e używa się najczęściej przy logarytmach – logarytm naturalny ma za podstawę właśnie liczbę e. Podobnie jak pi, liczba e jest liczbą niewymierną, więc też nie da się zapisać wszystkich jej cyfr. Jej przybliżona wartość to 2,71…

  • $\mathrm{tg},x$, $\mathrm{ctg},x$: tangens i cotangens, funkcje trygonometryczne. Tak pisze się je w polskiej szkole; na kalkulatorach i w źródłach zagranicznych spotkasz zapis $\tan x$ i $\cot x$.

  • D(f) i ZW(f) oznaczają dziedzinę i zbiór wartości funkcji. Dziedzina to zbiór elementów, które możemy wybrać jako argument funkcji. Zbiór wartości to zbiór elementów, które może przyjmować wartość funkcji. (Spotkasz też zapis Df i ZWf, w Czechach zbiór wartości oznacza się H(f).)

  • ${1 \choose 2}$ to symbol Newtona. Wygląda jak ułamek bez kreski ułamkowej, za to w nawiasie. Nawias zwykle się tam pisze, nie zapisujemy samych dwóch liczb bez niczego. Symbol Newtona pozwala krócej zapisać liczbę kombinacji.

  • $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ to standardowe zbiory, z którymi pracuje się w matematyce. Od lewej są to: liczby naturalne, liczby całkowite, liczby wymierne, liczby rzeczywiste i liczby zespolone.

  • ⊆, ∈, × to symbole używane w teorii zbiorów. Od lewej: podzbiór, symbol należenia elementu do zbioru, iloczyn kartezjański.

  • $f^{\prime}$ oznacza (dokładniej ta kreska u góry, tzw. prim) pochodną funkcji f.

  • $\wedge, \vee, \Rightarrow, \Leftrightarrow, \neg$ to symbole używane w rachunku zdań. Od lewej: koniunkcja, alternatywa, implikacja, równoważność i negacja.

  • $\sum_{i=1}^n a_i$ to symbol sumy i oznacza sumę wyrazów jakiegoś ciągu ai. To już dość groźnie wyglądający symbol, ale nie ma w nim nic szczególnie skomplikowanego. Suma zaczyna od wartości i = 1, po kolei dodaje wyrazy ciągu ai i inkrementuje (zwiększa) wartość zmiennej i o jeden, dopóki wartość i nie zrówna się z górnym indeksem, czyli n. W ten sposób po kolei dodaje się wyrazy ciągu:

    $$ \sum_{i=1}^n a_i = a_1+a_2+\ldots+a_n $$

    Powiedzmy, że mamy ciąg ai = i, czyli ciąg 1, 2, 3, … Jak zapisalibyśmy sumę pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu?

    $$ \sum_{i=1}^5a_i=1+2+3+4+5=15 $$

  • $\prod_{i=1}^{n}a_i$ to symbol iloczynu i jest odpowiednikiem poprzedniej sumy, tylko że działaniem wewnątrz nie jest dodawanie, ale mnożenie. Symbol iloczynu daje iloczyn danych wyrazów ciągu (suma daje sumę). Iloczyn pierwszych pięciu wyrazów poprzedniego ciągu ai = i wyglądałby więc tak:

    $$ \prod_{i=1}^5 a_i = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120 $$