Wyznaczanie zmiennej ze wzoru
Jak ze złożonej zależności albo z ułamka wyznaczyć jedną konkretną zmienną. Tej techniki używa się szczególnie przy pracy z różnymi wzorami, w których występuje kilka zmiennych. W połączeniu z innymi wzorami pozwala osiągnąć niebywałe rzeczy – wyprowadzić wszystko z niczego.
Proste wyrażenia liniowe
Weźmy taki wzór: ax + b = c. Jak z tego wymyślonego wzoru wyznaczymy x? Zawsze zaczynamy od tego, że wszystkie wyrażenia ze zmienną, którą wyznaczamy, przenosimy na lewą stronę, a resztę na prawą. Teoretycznie nie ma znaczenia, co będzie po której stronie, ale przyjęło się, że wyznaczaną niewiadomą mamy po lewej. Najpierw więc przeniesiemy b na prawą stronę, czyli do równania dodamy −b:
\begin{eqnarray} ax + b &=& c \quad /-b\\ ax &=& c -b \end{eqnarray}
Wyrażenia ze zmienną mamy już po jednej stronie, ale przeszkadza nam jeszcze to a. Jak się go elegancko pozbyć? Co musimy zrobić z wyrażeniem ax, żeby dostać samo x? Tak, wyrażenie – a tym samym całe równanie – podzielimy przez a, czyli pomnożymy przez $\frac{1}{a}$. Wartość a musi przy tym być różna od zera (nie można dzielić przez zero). Jeśli tak zrobimy, dostaniemy:
\begin{eqnarray} ax &=& c -b\quad\cdot\frac{1}{a}\quad(a\ne0)\\ x &=& \frac{c-b}{a} \end{eqnarray}
Gotowe. Kolejny przykład:
$$2ax − 3bx = 10a$$
Znowu mamy wyznaczyć x. Wyrażenia z niewiadomą mamy już po lewej stronie, więc mamy trochę mniej pracy. Kłopot w tym, że są tam dwa wyrażenia z niewiadomą. Poradzimy sobie z tym, wyłączając wspólny czynnik przed nawias. Z lewej strony równania wyłączymy przed nawias x i dostaniemy:
\begin{eqnarray} 2ax − 3bx &=& 10a\\ x(2a − 3b) &=& 10a \end{eqnarray}
Kiedy w poprzednim przykładzie mieliśmy wyrażenie ax i chcieliśmy otrzymać samo x, pomnożyliśmy całe równanie przez $\frac{1}{a}$. Teraz mamy w równaniu wyrażenie x(2a − 3b) i znowu chcemy poznać x. Zrobimy to samo: podzielimy całe równanie przez wyrażenie (2a − 3b). Nie bój się, równanie naprawdę można podzielić przez cały nawias, musi tylko zachodzić 2a − 3b ≠ 0.
\begin{eqnarray} x(2a − 3b) &=& 10a\quad /\cdot \frac{1}{2a − 3b}\\ x &=& \frac{10a}{2a-3b} \end{eqnarray}
Ułamki
Jeśli mamy wyrażenie z ułamkami, stosujemy te same przekształcenia równań, musimy tylko uważać, żeby przypadkiem nie dzielić ani nie mnożyć przez zero. Przykład:
$$ \frac{a}{x}=\frac{b}{c} $$
Chcemy wyznaczyć x. Całe równanie pomnożymy przez x – musimy tylko dodać założenie, że x ≠ 0. To i tak jest spełnione, bo w równaniu jest ułamek $\frac{a}{x}$, a x jest w mianowniku – a przez zero dzielić nie można. Otrzymujemy więc równanie:
\begin{eqnarray} \frac{a}{x}&=&\frac{b}{c}\quad/\cdot x\quad(x\ne0)\\ a &=& \frac{bx}{c}\quad/\cdot c\quad(c\ne0)\\ ac&=&bx\quad\cdot\frac{1}{b}\quad(b\ne0)\\ \frac{ac}{b}&=&x\\ x&=&\frac{ac}{b} \end{eqnarray}
Krótko mówiąc, przy wyznaczaniu niewiadomej stosuj zwykłe przekształcenia równoważne równań.