Obliczanie procentów

Procenty zwykle oznaczają jakąś względną część całości, przy czym sama całość to 100%. Procenty zawsze można zapisać w postaci ułamka.

Procenty jako część całości

Procentów użyjemy wtedy, gdy chcemy wyrazić część jakiejś całości. Procentami możemy zastąpić wyrażenia typu „jedna czwarta klasy dostała jedynkę” albo „co drugi człowiek to mężczyzna”. Zawsze mamy jakąś całość, na przykład całą klasę uczniów, i mówimy, że jedna czwarta z nich dostała jedynkę. Jeśli w klasie jest 32 uczniów i jedna czwarta z nich dostała jedynkę, to łączna liczba uczniów, którzy dostali jedynkę, będzie równa:

$$ \frac{1}{4}\cdot 32 = 8\quad \mbox{co jest tym samym co}\quad \frac{32}{4}=8 $$

W drugim przypadku możemy mieć miasto, powiedzmy Zamość. Ma on około 60 000 mieszkańców. Jeśli co drugi mieszkaniec jest mężczyzną, to znaczy, że połowa z nich to mężczyźni, co zapiszemy jako:

$$ \frac{1}{2}\cdot 60, 000 = 30, 000 \quad \mbox{co jest tym samym co}\quad \frac{60{,}000}{2}=30{,}000 $$

Dalej moglibyśmy powiedzieć, że „co setny człowiek w Zamościu jest matematykiem”. Wtedy w Zamościu mamy $\frac{1}{100}\cdot60,000=600$ matematyków. „Co setny” to to samo co „jedna setna mieszkańców”.

Teraz możemy wprowadzić pojęcie procentu. Jeden procent, oznaczany 1%, oznacza jedną setną całości. To znaczy, że gdy powiemy „co setny człowiek w Zamościu jest matematykiem” i „jeden procent ludzi w Zamościu to matematycy”, mówimy to samo. Jeden procent całości obliczymy, mnożąc całość przez $\frac{1}{100}$ albo dzieląc ją przez 100, to jest to samo.

Procenty możemy łatwo zamieniać na ułamki i dalej z nimi pracować. Gdybyśmy powiedzieli, że „w Zamościu x % ludzi ma ciemne włosy”, to jest to samo, jakbyśmy powiedzieli, że „w Zamościu $\frac{x}{100}\cdot60,000$ ludzi ma ciemne włosy”. 100% oznacza wtedy całość, czyli wszystkich mieszkańców. Zdanie „100% uczniów zdało do następnej klasy” znaczy, że zdali wszyscy uczniowie. Zdanie „0% uczniów nie zdało” mówi, że nikt nie oblał. Przykłady:

1. 35 % mieszkańców Zamościa jeździ autobusami. Ile osób jeździ autobusami? 35% to to samo co $\frac{35}{100}$ całości (= „trzydzieści pięć setnych całości”). Obliczymy więc: $\frac{35}{100}\cdot 60,000$. Najprościej najpierw podzielić 60 000 przez sto, a ten wynik pomnożyć przez 35. W zasadzie robimy takie przekształcenie:

   $$ \frac{35}{100}\cdot 60{,}000 = \frac{35\cdot60{,}000}{100}=\frac{35\cdot600}{1}=35\cdot600=21{,}000 $$

   Możemy to sobie wyobrazić tak, że najpierw obliczamy liczbę mieszkańców, która odpowiada jednemu procentowi: $\frac{1}{100}\cdot60,000=600$. Jednemu procentowi odpowiada 600 mieszkańców. My chcemy znać 35 procent mieszkańców, więc te 600 mieszkańców już tylko mnożymy: 35 · 600 = 21,000.

2. Tomek zarabia średnio 500 złotych dziennie. Dzisiaj zarobił tylko 75% swojej średniej dniówki. Ile zarobił Tomek? Postępujemy wciąż tak samo. Całość to 500, a 75% zamienimy na ułamek $\frac{75}{100}$. Ten ułamek możemy jeszcze skrócić do ułamka $\frac{3}{4}$. Pomnożymy całość przez ten ułamek:

   $$ \frac{3}{4}\cdot500=\frac{3\cdot500}{4}=3\cdot125=375 $$

3. Następnego dnia Tomek się odkuł i zarobił 150% swojej średniej dniówki. Ile zarobił? Czy w ogóle można mieć więcej niż 100%, skoro powiedzieliśmy, że 100% to całość? Tak, można. Tak samo jak ktoś może zarobić „trzy razy więcej pieniędzy niż średnio”, tak ktoś może zarobić 150% swojej średniej.

   Postąpimy dokładnie tak samo. 150% zamienimy na ułamek $\frac{150}{100}$ i przez ten ułamek pomnożymy średnią dniówkę Tomka, czyli 500:

   $$ \frac{150}{100}\cdot500=\frac{150\cdot500}{100}=\frac{150\cdot5}{1}=150\cdot5=750 $$

Procenty jako proporcja

Część całości wyrażoną w procentach możemy łatwo zamienić na regułę trzech, czyli proporcję. Zostańmy przy Tomku, który średnio zarabia 500 złotych dziennie, a dzisiaj zarobił 75% swojej średniej dniówki. Za pomocą proporcji możemy to zapisać tak:

\begin{eqnarray} 100 % &\quad\ldots\quad&500 \mbox{ złotych}\\ 75 % &\quad\ldots\quad&x \mbox{ złotych} \end{eqnarray}

Ponieważ chodzi o proporcjonalność prostą, dostajemy postać:

$$ \frac{75}{100} = \frac{x}{500} $$

Pomnożymy równanie przez 500 i mamy:

$$ \frac{75\cdot500}{100}=x $$

A stąd już łatwo doliczymy się wyniku:

\begin{eqnarray} \frac{75\cdot500}{100}&=&x\\ \frac{75\cdot5}{1}&=&x\\ x&=&75\cdot5\\ x&=&375 \end{eqnarray}

Widzimy, że wyszła nam ta sama liczba.

A co, jeśli znamy część, a nie znamy całości?

W poprzednich przykładach zawsze zakładaliśmy, że znamy dokładną wartość całości i mamy z niej obliczyć pewną część podaną w procentach. Co jednak, jeśli znamy właśnie tę część, a nie znamy całości? Przykład: Tomek ma 120 magicznych karteczek z wielkim zielonym potworem. Mimo że to imponująca liczba karteczek z zielonymi potworami, ma wciąż tylko sześćdziesiąt procent tego, co Ania. Ile karteczek ma Ania?

Tutaj znamy część, ale nie znamy całości – tę dopiero musimy obliczyć. W tej chwili wiemy, że 120 karteczek odpowiada 60% karteczek, które ma Ania. Żeby ustalić, ile karteczek odpowiada jednemu procentowi, wystarczy podzielić te sto dwadzieścia przez sześćdziesiąt. Dostaniemy dwójkę: 120 : 60 = 2. Jeden procent karteczek to w rzeczywistości dwie karteczki z zielonym potworem. Ponieważ obliczamy całość – a ta zawsze wynosi 100% – pomnożymy tę liczbę karteczek przez sto. Mamy 200 karteczek, co jest poprawnym wynikiem.

Możemy to sprawdzić, obliczając 60% z 200. Po prostu pomnożymy

$$\frac{60}{100}\cdot200=\frac{3}{5}\cdot200=3\cdot40=120$$

Widzimy, że 60% z 200 to 120, czyli dokładnie tyle karteczek z zielonym potworem, ile ma Tomek.

Dodawanie procentów

Jeśli mamy rozwiązać zadanie, w którym występują procenty, zawsze najlepiej jest zamiast procentów obliczyć dokładne wartości i dopiero je dodać. Treść zadania mogłaby brzmieć na przykład tak: Marcin zarabia 15 000, Stanisław 20 000, a Łucja 25 000 złotych. Oblicz, ile złotych zarabia Zuzia, która zarabia 30% tego, co Marcin, plus 40% tego, co Stanisław, plus 25% tego, co Łucja.

Mamy tu trzy wyrażenia z procentami, ale każde z nich pochodzi z innej całości. Marcin, Stanisław i Łucja zarabiają każde inną kwotę. Najpierw więc obliczymy 30% pensji Marcina. Jeden procent to 15 000 : 100 = 150. Następnie pomnożymy 150 · 30 i dostaniemy 4 500. Dalej jest kolej na 40% pensji Stanisława. Jeden procent to 20 000 : 100 = 200. Znowu pomnożymy przez 40 i mamy 200 · 40 = 8 000. Ostatnia część to 25% od Łucji. Ona zarabia 25 000, z tego jeden procent to 25 000 : 100 = 250. Mnożąc przez 25, dostajemy 250 · 25 = 6 250. Teraz już tylko dodamy wszystkie wyniki częściowe: 4 500 + 8 000 + 6 250 = 18 750. Zuzia zarabia 18 750 złotych, co jest całkiem niezłym zarobkiem.

Może się nam jednak zdarzyć, że naprawdę będziemy dodawać procenty. Procenty możemy dodawać tylko wtedy, gdy mają tę samą podstawę, tę samą całość. Jeśli więc na przykład Kuba zarobiłby 20% tego, co Stanisław, plus 30% tego, co Stanisław, możemy te procenty dodać, bo chodzi o tę samą podstawę – oba wyrażenia liczą się od pensji Stanisława. Wynik będzie więc 20% + 30% = 50%. Kuba zarobi połowę tego, co Stanisław, czyli dziesięć tysięcy.

Zdradliwe kaskadowe dodawanie procentów

Teraz wyobraź sobie taką sytuację: Michał w pierwszym roku zarabiał 10 000. W drugim roku dostał jednak podwyżkę i podniesiono mu pensję o 30%. W kolejnym, trzecim roku znowu dostał podwyżkę i znowu podniesiono mu pensję, choć tym razem tylko o 10%. Pytanie brzmi: jaką pensję ma teraz Michał?

Ten typ zadań strasznie kusi, żeby dodać procenty tak samo jak w poprzednim przypadku. Przecież wciąż – pozornie – liczymy od tej samej podstawy, od pensji Michała. Obliczymy więc 30% + 10% i dodamy to do jego wyjściowej pensji. Michał zarabiałby wtedy 14 000 złotych. Tylko że tak nie jest. Przejdźmy to po kolei.

W pierwszym roku dostawał 10 000. W drugim roku dostawał 10 000 + 30%, co daje 13 000, jak na pewno sam policzysz. A w kolejnym roku podniesiono mu pensję o dziesięć procent. Ale uwaga! Podstawą nie jest już owe dziesięć tysięcy, które miał w pierwszym roku. Podstawą jest już trzynaście tysięcy! A jak wiemy, procenty możemy dodawać tylko wtedy, gdy liczy się je od tej samej podstawy. A w naszym przypadku podstawa jest różna. Za pierwszym razem było to 10 000, a teraz to 13 000. W ostatnim roku Michał dostawał więc 13 000 + 10%, czyli 14 300.

Rozwiązanie z 14 000 było po pierwsze złe, a po drugie oszukaliśmy biednego Michała na 300 złotych. Nie bądź dla Michała niedobry!

Kup podręcznik do matematyki na wyprzedaży!

Klasycznym przykładem jest też przecena. Wyobraź sobie, że w sklepie mają podręcznik do matematyki, który bardzo chciałbyś dostać pod choinkę. Zresztą czego innego mógłbyś chcieć, prawda? :-)

Przed świętami książka jednak drożeje, o 20%. Mówisz sobie, że jednak poczekasz i kupisz ją po świętach. Dobrze zrobiłeś, bo sklep po świętach obniżył cenę książki o 20%. Pytanie brzmi: czy książka kosztuje tyle samo co przed podwyżką? Czy więcej, a może mniej?

Zdrowy rozsądek niektórych ludzi znowu podpowiada, że książka będzie kosztować tyle samo, ale to nieprawda. Policzmy to. Powiedzmy, że książka kosztowała 300 złotych. Podwyżka o 20% oznacza, że książka zdrożała o $\frac{20}{100}\cdot300=60$ złotych. Książka kosztowała więc 360 złotych.

Tylko że 20-procentowa obniżka nie liczy się już od podstawy 300, ale od podstawy 360! To znaczy, że książka potanieje o $\frac{20}{100}\cdot360=72$ złote. Po obniżce książka kosztuje 288 złotych.

(Ale prawdę mówiąc, kto by kupował podręcznik do matematyki, kiedy jest tu dla ciebie matweb ;-))

Promile

Promile najczęściej spotyka się przy pomiarze alkoholu we krwi kierowcy. Niektórzy ludzie błędnie sądzą, że promil to jedna tysięczna procentu, ale to błąd, uważaj na to. Promil to jedna tysięczna całości. Poza tym z promilami liczy się dokładnie tak samo jak z procentami. Jeśli chcesz obliczyć x promili z 5000, obliczysz to jako $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. Zamiast 100 w mianowniku ułamka jest 1000. Trzy promile z 5000 to więc $\frac{3}{1000}\cdot5000=3\cdot5=15$.

Promil oznacza się symbolem ‰. Zachodzi więc $x ‰ = \frac{x}{10} %$.

Więcej w osobnym artykule o promilach.

Typografia procentów

Znak procentu można spotkać zapisany ze spacją („100%”) i bez niej („100%”); w obu przypadkach czytamy go „sto procent”. Przymiotnik „stuprocentowy” zapisujemy cyframi jako „100-procentowy”, a nie „100%”. Pamiętaj o tym, proszę, przy pisaniu i nie przejmuj się zbytnio, kiedy w gazetach będą to mieć źle :-).

Punkt procentowy

Oprócz zwykłych procentów możemy jeszcze mieć punkty procentowe. Jaka jest między nimi różnica? Wyobraź sobie, że przeglądarki Firefox dwa lata temu używało 20% ludzi, a w tym roku używa jej już 30% ludzi. Jaki jest wzrost między tymi dwoma latami? Błędem byłoby powiedzieć, że wzrost jest dziesięcioprocentowy. Jeśli Firefoksa najpierw używało 20% ludzi, a potem 30%, to znaczy, że teraz używa go o połowę więcej ludzi niż wcześniej. To oznacza wzrost o pięćdziesiąt procent.

Ale z drugiej strony trochę głupio mówić, że wzrost wynosi 50%, skoro dla wszystkich byłoby bardziej zrozumiałe, gdybyśmy powiedzieli, że wynik w procentach wzrósł o dziesięć (z 20 do 30). I właśnie do tego mamy punkty procentowe. W tym przypadku możemy powiedzieć, że wzrost popularności przeglądarki Firefox wynosi dziesięć punktów procentowych. Punktów procentowych używamy, gdy chcemy wyrazić prostą różnicę między dwiema wartościami podanymi w procentach.