Reguła trzech
Regułę trzech stosujemy w prostych obliczeniach z proporcjonalnością prostą i odwrotną. Zwykle znamy trzy zależne od siebie wartości i mamy obliczyć czwartą. W polskiej szkole takie zadania rozwiązuje się zwykle, układając proporcję. W regule trzech musimy starannie odróżnić proporcjonalność prostą od odwrotnej, bo każdą liczy się inaczej.
Motywacja
Idziesz do sklepu kupić zapas lemoniady. Za 100 złotych kupiłeś 5 butelek lemoniady. Ile lemoniad kupiłbyś, gdybyś miał 200 złotych? To typowy przykład, który można rozwiązać regułą trzech.
W tej chwili możemy przeprowadzić proste rozumowanie – w pierwszym przypadku mieliśmy do dyspozycji 100 złotych, w drugim 200 złotych. Można więc oczekiwać, że jeśli mamy do dyspozycji dwa razy więcej złotych, to kupimy za nie dwa razy więcej butelek. Za 200 złotych kupilibyśmy więc 2 · 5 = 10 lemoniad.
Poprzedni sposób „im więcej… tym więcej” nie jest wcale oczywisty, bo możemy mieć taki przykład: 10 murarzy zbuduje dom w cztery miesiące. W jakim czasie zbuduje dom 20 murarzy? Jeśli użyjemy poprzedniego sposobu – murarzy jest dwa razy więcej, więc miesięcy będzie dwa razy więcej – dostaniemy, że 20 murarzy zbudowałoby dom w 2 · 4 = 8 miesięcy.
Ten sposób oczywiście nie jest poprawny, bo im więcej murarzy, tym mniej miesięcy zajmie im budowa domu. Musimy więc postąpić odwrotnie: dwa razy więcej murarzy zbuduje dom w dwa razy mniej miesięcy. Dostaniemy wtedy poprawny wynik: 20 murarzy zbuduje dom w 4:2 = 2 miesiące.
Te dwa różne sposoby mają swoje nazwy: proporcjonalność prosta i proporcjonalność odwrotna.
Proporcjonalność prosta
Jeśli zachodzi „im więcej… tym więcej”, chodzi o proporcjonalność prostą. Przykłady:
- Im więcej mamy pieniędzy, tym więcej lemoniad/ogórków/hulajnóg możemy kupić.
- Im więcej artykułów dziennikarz napisze, tym więcej pieniędzy zarobi.
- Im więcej kopaczy będzie kopać, tym więcej wykopią.
- Im dłużej pompa będzie pompować, tym więcej wody wypompujemy.
Przykład: Samochód zużywa 6 litrów benzyny na 100 kilometrów. Ile litrów benzyny zużyje po przejechaniu 250 kilometrów? To przykład na proporcjonalność prostą, bo im więcej samochód przejedzie, tym więcej benzyny zużyje.
Sposób: Najpierw zapiszemy, co znamy. Użyjemy do tego następującej tabelki, która pomoże nam uporządkować, co znamy, a co chcemy obliczyć:
$$\begin{eqnarray} 100\mbox{ km}&\quad…\quad&6 \mbox{ litrów}\\ 250\mbox{ km}&\quad…\quad&x\mbox{ litrów} \end{eqnarray}$$
W pierwszym wierszu mamy zapisane wartości, które znamy w całości. W drugim wierszu mamy po prawej stronie wartość, której nie znamy, a po lewej stronie wartość, dla której chcemy niewiadomą obliczyć. W kolumnach muszą być zawsze te same wielkości, w tym przypadku w kolumnie muszą być albo zawsze kilometry, albo zawsze litry.
Jest prosty sposób, który ułatwi ci obliczenie tego przykładu. Najpierw narysuj po prawej strzałkę z dołu do góry, o tak:
$$\begin{eqnarray} 100\mbox{ km}&\quad…\quad&6 \mbox{ litrów}\\ 250\mbox{ km}&\quad…\quad&x\mbox{ litrów}\quad\uparrow \end{eqnarray}$$
Jeśli chodzi o proporcjonalność prostą, to po lewej narysujemy taką samą strzałkę, z dołu do góry:
$$\begin{eqnarray} \quad100\mbox{ km}&\quad…\quad&6 \mbox{ litrów}\\ \uparrow\quad250\mbox{ km}&\quad…\quad&x\mbox{ litrów}\quad\uparrow \end{eqnarray}$$
W kolejnym kroku ułożymy ułamki z kolumn w kierunku strzałek. Licznik odpowiada więc liczbie, przy której strzałka się zaczyna, a mianownik liczbie, przy której strzałka się kończy. Te ułamki przyrównamy do siebie. Z pierwszej kolumny (kilometry) dostaniemy więc ułamek $\frac{250}{100}$, a z drugiej (litry) ułamek $\frac{x}{6}$. Zapisane w postaci równania:
$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$
To zwykłe równanie liniowe, które możemy rozwiązać przekształceniami równoważnymi. Całe równanie pomnożymy przez sześć, dzięki czemu pozbędziemy się ułamka po prawej stronie:
$$6\cdot\frac{250}{100}=x$$
Teraz już tylko obliczymy x:
$$x=6\cdot\frac{250}{100}=6\cdot\frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$
Wynik jest taki, że samochód po przejechaniu 250 kilometrów zużyje 15 litrów benzyny.
Proporcjonalność odwrotna
Jeśli zachodzi „im więcej… tym mniej”, chodzi o proporcjonalność odwrotną. Przykłady:
- Im więcej osób podzieli się pizzą, tym mniejszy kawałek dostanie każda z nich.
- Im szybszy mamy internet, tym wcześniej ściągniemy film.
- Im szybciej pojedziemy, tym wcześniej dotrzemy do celu.
- Im więcej pracowników pracuje przy budowie domu, tym wcześniej dom będzie gotowy.
Przykład: Na swoim komputerze masz internet o prędkości 2 MB na sekundę, a nagranie koncertu Majki Jeżowskiej ściągnąłeś w 450 sekund. W jakim czasie ściągnąłbyś ten sam koncert, gdybyś miał internet o prędkości 6 MB na sekundę?
Postępujemy tak samo jak przy proporcjonalności prostej – zapiszemy wartości do przejrzystej tabelki:
$$\begin{eqnarray} 2\mbox{ MB/s}&\quad…\quad&450 \mbox{ sekund}\\ 6\mbox{ MB/s}&\quad…\quad&x\mbox{ sekund} \end{eqnarray}$$
Teraz strzałki. Prawa strzałka będzie znowu z dołu do góry, tu nic się nie zmienia. Ale ponieważ chodzi o proporcjonalność odwrotną, lewa strzałka pójdzie w przeciwnym kierunku, z góry na dół.
$$\begin{eqnarray} \quad2\mbox{ MB/s}&\quad…\quad&450 \mbox{ sekund}\\ \downarrow\quad6\mbox{ MB/s}&\quad…\quad&x\mbox{ sekund}\quad\uparrow \end{eqnarray}$$
Dalej postępujemy już tak samo – z tej tabelki utworzymy ułamki, znowu zgodnie z kierunkiem strzałek. Dostaniemy ułamki $\frac26$ i $\frac{x}{450}$, które przyrównamy do siebie:
$$\frac26=\frac{x}{450}$$
Równanie pomnożymy przez 450:
$$450\cdot\frac26=x$$
I obliczymy x:
$$x=450\cdot\frac26=450\cdot\frac13=\frac{450}{3}=150$$
Przy szybszym łączu ściągniemy koncert Majki Jeżowskiej w 150 sekund.
Zauważ, że ten sposób zgadza się z intuicją. W ostatnim kroku dzielimy 450 przez trzy, czego można się było spodziewać. Wzrost prędkości z 2 MB/s do 6 MB/s jest trzykrotny, mamy trzy razy większą prędkość. Dlatego spodziewalibyśmy się, że czas, w którym ściągniemy film, będzie trzy razy krótszy $\rightarrow$ i dokładnie to wyraża ułamek $\frac{450}{3}$.
Przykłady
Pierwszy przykład: Pokój w pewnym luksusowym hotelu kosztuje za siedem nocy dziesięć tysięcy pięćset złotych. Ile zapłacimy za ten sam pokój, jeśli chcielibyśmy pojechać tam na dwanaście dni?
Najpierw zapiszemy wartości do tabelki:
$$\begin{eqnarray} 7\mbox{ dni}&\quad…\quad&10{,}500 \mbox{ złotych}\\ 12\mbox{ dni}&\quad…\quad&x\mbox{ złotych} \end{eqnarray}$$
Teraz musimy zdecydować, czy chodzi o proporcjonalność prostą, czy odwrotną. Czy zachodzi, że im dłużej tam będziemy, tym mniej zapłacimy? Nie, zachodzi coś odwrotnego – im dłużej tam będziemy, tym więcej zapłacimy. Chodzi więc o proporcjonalność prostą. Dorysujemy strzałki:
$$\begin{eqnarray} \quad7\mbox{ dni}&\quad…\quad&10{,}500 \mbox{ złotych}\\ \uparrow\quad12\mbox{ dni}&\quad…\quad&x\mbox{ złotych}\qquad\quad\uparrow \end{eqnarray}$$
Za pomocą strzałek ułożymy ułamki:
$$\frac{12}{7}=\frac{x}{10{,}500}$$
Rozwiążemy równanie:
$$\begin{eqnarray} \frac{12}{7}&=&\frac{x}{10{,}500}\\ 10{,}500\cdot\frac{12}{7}&=&x\\ x&=&10{,}500\cdot\frac{12}{7}\\ x&=&\frac{10{,}500\cdot12}{7}\\ x&=&18{,}000 \end{eqnarray}$$
Pokój na 12 dni kosztowałby nas 18,000 złotych.
Drugi przykład: 10 pracowników sezonowych zbiera truskawki i w ciągu dnia zbiera 50 kilo truskawek. Ile kilogramów truskawek zbierze w ciągu dnia 7 pracowników sezonowych?
Zapiszemy wartości do tabelki:
$$\begin{eqnarray} 10\mbox{ prac.}&\quad…\quad&50 \mbox{ kg}\\ 7\mbox{ prac.}&\quad…\quad&x\mbox{ kg} \end{eqnarray}$$
Czy chodzi o proporcjonalność prostą, czy odwrotną? W tym przykładzie czai się pewna pułapka, bo w odróżnieniu od poprzednich przykładów w wierszu z niewiadomą mamy mniejszą liczbę pracowników niż w pierwszym wierszu. Nie daj się zmylić, wciąż chodzi o proporcjonalność prostą, bo im więcej pracowników, tym więcej zebranych truskawek. Albo odwrotnie – im mniej pracowników, tym mniej truskawek. To również jest proporcjonalność prosta. Obie strzałki będą więc z dołu do góry.
$$\begin{eqnarray} 10\mbox{ prac.}&\quad…\quad&50 \mbox{ kg}\\ \uparrow\quad7\mbox{ prac.}&\quad…\quad&x\mbox{ kg}\quad\uparrow \end{eqnarray}$$
Utworzymy ułamki:
$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$
i obliczymy x:
$$\begin{eqnarray} \frac{7}{10}&=&\frac{x}{50}\\ 50\cdot\frac{7}{10}&=&x\\ x&=&50\cdot\frac{7}{10}\\ x&=&5\cdot7\\ x&=&35 \end{eqnarray}$$
Siedmiu pracowników sezonowych zbierze w ciągu dnia 35 kilo truskawek.
Trzeci przykład: Średnia długość kroku Jasia wynosi 80 cm. W drodze ze szkoły do domu policzył, że zrobił 1300 kroków. Ile kroków zrobiłby, gdyby każdy krok miał dokładnie metr?
Najpierw tabelka. Uważaj, w treści mamy 80 cm i jeden metr. W tabelce potrzebujemy jednak wartości w tej samej jednostce, więc zamiast jednego metra użyjemy 100 cm – moglibyśmy też postąpić odwrotnie i napisać 1 metr i 0,8 metra.
$$\begin{eqnarray} 80\mbox{ cm}&\quad…\quad&1300 \mbox{ kroków}\\ 100\mbox{ cm}&\quad…\quad&x\mbox{ kroków} \end{eqnarray}$$
A która to proporcjonalność? Im dłuższy mamy krok, tym mniej kroków potrzebujemy na pokonanie określonej odległości, chodzi więc o proporcjonalność odwrotną. Lewa strzałka będzie z góry na dół, prawa strzałka z dołu do góry.
$$\begin{eqnarray} 80\mbox{ cm}&\quad…\quad&1300 \mbox{ kroków}\\ \downarrow\quad100\mbox{ cm}&\quad…\quad&x\mbox{ kroków}\qquad\uparrow \end{eqnarray}$$
Ułamki będą wyglądać tak:
$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$
Wyznaczymy i obliczymy x:
$$\begin{eqnarray} \frac{80}{100}&=&\frac{x}{1300}\\ 1300\cdot\frac{80}{100}&=&x\\ x&=&1300\cdot\frac45\\ x&=&\frac{1300\cdot4}{5}\\ x&=&1040 \end{eqnarray}$$
Jasiowi wystarczyłoby na tę samą odległość tylko 1040 kroków.
Wzory
Jak widać z poprzednich obliczeń, postępowanie jest zawsze takie samo i prowadzi do prostych wzorów. Najpierw zapiszemy tabelkę symbolicznie:
$$\begin{eqnarray} a&\quad…\quad&b\\ c&\quad…\quad&x \end{eqnarray}$$
Wtedy zachodzą następujące wzory. Dla proporcjonalności prostej:
$$x=b\cdot\frac{c}{a}$$
A dla proporcjonalności odwrotnej:
$$x=b\cdot\frac{a}{c}$$