Zaokrąglanie liczb

Zaokrąglanie to sposób upraszczania brzydkich liczb do ładnych. Na przykład liczba 98 jest niepotrzebnie skomplikowana i moglibyśmy ją uprościć do pięknej liczby 100.

Podobne liczby

Sens zaokrąglania polega na tym, żeby wziąć jakąś liczbę, która jest co prawda dokładna, ale zbyt skomplikowana, i zrobić z niej liczbę, która ma podobną wartość i jest prostsza. Zwykle nie musimy wiedzieć, że samochód jedzie z prędkością 61,49 km/h, w zupełności wystarczy nam wiedzieć, że jedzie sześćdziesiątką. Taki proces, w którym z liczby 61,49 robimy liczbę 60, nazywamy zaokrągleniem.

Zasada zaokrąglania

Najpierw pokażemy, jak zaokrąglać liczby do pełnych dziesiątek. To znaczy, że wynikowa liczba musi być podzielna przez dziesięć bez reszty. Liczba 57 nie jest podzielna przez dziesięć bez reszty, ale liczby 80 albo 150 są. Wszystkie liczby podzielne przez dziesięć mają w rzędzie jedności (ostatnia cyfra) zero.

Teraz chodzi o to, do jakiej liczby zaokrąglilibyśmy 57. Kierujemy się oczywiście odległością – jakie są najbliższe liczby podzielne przez dziesięć? Mamy w zasadzie dwóch kandydatów, jakąś liczbę mniejszą od 57 i jakąś większą od 57. Pierwsza liczba mniejsza od 57, która jest podzielna przez dziesięć, to 50. Z drugiej strony dostaniemy liczbę 60.

Przy tym 57 jest bliżej 60 niż 50, bo odległość 60 od 57 wynosi 3 (60 − 57), a odległość 57 od 50 wynosi 7 (57 − 50). Dlatego 57 zaokrąglone do dziesiątek równa się 60. Liczba 60 to najbliższa liczba podzielna przez dziesięć.

Co się jednak stanie, gdy mamy zaokrąglić do dziesiątek liczbę 55? Taka liczba jest bowiem tak samo daleko od liczby 50 jak od liczby 60, bo od obu jest odległa o 5. W takim przypadku zaokrąglamy w górę, czyli do większej liczby. Liczbę 55 zaokrąglilibyśmy więc do 60. (Czasem, głównie z powodów technicznych, stosuje się też inne sposoby.)

Reguły zaokrąglania

Znowu będziemy zakładać zaokrąglanie do pełnych dziesiątek.

Zaokrąglać możemy w zasadzie na dwa sposoby. Pierwszy z nich to zaokrąglanie w dół, czyli zmniejszamy wyjściową liczbę. W dół zaokrąglamy wtedy, gdy ostatnia cyfra jest w zakresie od 0 do 4. Na przykład liczbę 23 zaokrąglimy do 20, bo ostatnia cyfra to trójka. Liczbę 54 do 50, bo ostatnia cyfra to czwórka. Liczbę 80 do 80. Uwaga, na pewno nie zaokrąglamy w dół do 70: jeśli na końcu mamy zero, liczba się nie zmienia.

Drugi sposób zaokrąglania to w górę, wyjściowa liczba się wtedy zwiększa. W górę zaokrąglamy wtedy, gdy ostatnia cyfra jest w zakresie od 5 do 9. Tak więc 19 zaokrąglimy do 20, 56 do 60, 88 do 90. W górę zaokrąglamy także wtedy, gdy liczba kończy się cyfrą 5, czyli 15 zaokrąglimy do 20, 75 do 80 itd.

Jeśli liczba kończy się na 0, 1, 2, 3 albo 4, zaokrąglamy w dół. Jeśli kończy się na 5, 6, 7, 8 albo 9, zaokrąglamy w górę.

Zaokrąglanie do różnych rzędów

Do tej pory zawsze zaokrąglaliśmy tylko do pełnych dziesiątek. Możemy jednak wybrać dowolny inny rząd, do którego chcemy zaokrąglać. Rzędem nazywamy dziesiątki, setki, tysiące…

Jeśli zaokrąglamy liczbę do setek, znaczy to, że chcemy, żeby liczba była podzielna przez sto bez reszty. Liczba 1853 nie jest podzielna przez sto, liczba 7200 jest podzielna przez sto. Podobnie dla pozostałych rzędów. Takie liczby zawsze wyróżniają się tym, że mają na końcu pewną liczbę zer. Liczba podzielna przez dziesięć ma na końcu co najmniej jedno zero (może mieć więcej, liczba 7200 jest oczywiście też podzielna przez dziesięć), liczba podzielna przez sto dwa zera, liczba podzielna przez tysiąc trzy zera itd.

Jeśli chcemy zaokrąglić liczbę do setek, szukamy więc najbliższej liczby podzielnej przez sto. Liczbę 389 zaokrąglilibyśmy więc do 400, bo ta liczba jest bliżej 389 niż 300.

Reguły zaokrąglania do różnych rzędów

Postępujemy praktycznie tak samo jak przy zaokrąglaniu do dziesiątek, tylko nie patrzymy na ostatnią cyfrę liczby, ale na pierwszą od lewej z cyfr, które mają się stać zerami.

Przy dziesiątkach to pierwsza cyfra od prawej, przy setkach druga cyfra od prawej, przy tysiącach trzecia cyfra od prawej…

Wypróbujemy to na liczbie 6482, którą zaokrąglimy do pełnych setek. Wynikowa liczba musi kończyć się co najmniej dwoma zerami, więc patrzymy na drugą cyfrę od prawej. To cyfra 8. Cyfra 8 mówi nam, że powinniśmy zaokrąglić w górę – reguła jest taka sama jak przy dziesiątkach. Zwiększymy więc wartość trzeciej cyfry od prawej, czyli cyfry 4, o jeden, a ostatnie dwie cyfry wyzerujemy – dostaniemy 6500. To najbliższa większa liczba podzielna przez sto.

Spróbujemy tę samą liczbę, 6482, zaokrąglić do tysięcy. Powinna nam wyjść liczba, której ostatnie trzy cyfry są zerami. Patrzymy na trzecią cyfrę od prawej, czyli 4. Mówi nam ona, że mamy zaokrąglać w dół. W tym przypadku wartość czwartej cyfry od prawej się nie zmienia, tylko w miejsce trzech ostatnich cyfr wstawimy zera, więc dostaniemy 6000.

Ułamki dziesiętne

Zaokrąglać możemy też ułamki dziesiętne, i znowu w zależności od tego, do jakiego rzędu zaokrąglamy. Na przykład liczbę 96,6 możemy zaokrąglić do pełnych jedności, czyli do 97. Tak samo działa to przy mniejszych liczbach. Weźmy liczbę 0,327. Jeśli będziemy chcieli zaokrąglić ją do części setnych, spojrzymy na trzecią cyfrę po przecinku, zobaczymy, że jest tam siódemka, a ta zaokrągla się w górę, więc zaokrąglimy do 0,330. W ułamkach dziesiętnych nie musimy pisać zer na końcu. Liczba 3,200 to to samo co 3,2. Poprzedni wynik po zaokrągleniu możemy więc zapisać jako 0,33. Gdybyśmy chcieli wyjściową liczbę zaokrąglić do części dziesiątych, wynikiem byłoby 0,3.

Stopniowe zaokrąglanie

Jeśli mamy zaokrąglić jakąś liczbę do jakiegoś rzędu, patrzymy zawsze tylko o jeden rząd niżej. Nie postępujemy tak, że stopniowo zaokrąglamy do wszystkich rzędów po kolei. Weźmy na przykład liczbę 746. Gdy zaokrąglimy ją do setek, dostaniemy liczbę 700, bo patrzymy na drugą cyfrę od prawej, a to jest 4, która zaokrągla się w dół.

Moglibyśmy jednak teoretycznie najpierw zaokrąglić liczbę do dziesiątek, przez co dostalibyśmy liczbę 750, bo cyfra 6 mówi nam, żebyśmy zaokrąglili w górę. Dopiero teraz zaokrąglilibyśmy do setek – dostalibyśmy 800, a nie 700, bo zaokrąglamy już według cyfry 5, a nie według cyfry 4.

Taki sposób nazywamy stopniowym zaokrąglaniem i zwykle go nie stosujemy, bo jest bardziej czasochłonny i mniej dokładny.