Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków

Ułamkiem możemy zapisać dowolną liczbę wymierną. Ułamek składa się z dwóch części. Górna część nazywa się licznik, a dolna mianownik. Istnieje też ułamek piętrowy, czyli po prostu ułamek, który w liczniku albo w mianowniku ma kolejny ułamek. A przy okazji: wszystkie znaki między ułamkami (plus, minus, znak równości itp.) piszemy zawsze na wysokości kreski ułamkowej, nie na wysokości licznika ani mianownika. A w ogóle, wiesz, że pięć osób na cztery ma problemy z ułamkami?

Podstawowe informacje

Ułamek ma następującą postać:

$$\frac{\mbox{licznik}}{\mbox{mianownik}}$$

Przykładem ułamka może być na przykład ułamek

$$\frac25,$$

czyli dwie piąte. Mianownik nazywa się mianownikiem dlatego, że mianuje, czyli nazywa ułamek. Piąte, trzecie, szóste… to główna nazwa ułamka, pochodzi od liczby, która stoi pod kreską ułamkową. Licznik natomiast określa liczbę części, w poprzednim przykładzie były to dwie piąte. Tyle o nazwach.

W liczniku i w mianowniku może stać w zasadzie dowolna liczba albo znowu ułamek, najczęściej jednak spotykamy ułamki, w których licznik i mianownik są liczbami naturalnymi.

Ułamek to tylko inaczej zapisane dzielenie, wartość ułamka obliczymy, dzieląc licznik przez mianownik. Ogólnie więc, jeśli mamy ułamek $\frac{a}{b}$, to wartością ułamka jest liczba a : b. Poprzedni ułamek (dwie piąte) miałby więc wartość 2 : 5, czyli 0,4.

Skracanie do postaci nieskracalnej

Z ułamkami możemy różnie pracować i zmieniać ich postać – rozszerzać je i skracać – a wartość ułamka wcale się przy tym nie zmienia. Łatwo to sobie wyobrazić także słownie, na przykład jedna druga ma taką samą wartość jak dwie czwarte albo cztery ósme. Wynika to z tego, że ułamek to tylko przebrane dzielenie. A do liczby jedna druga możemy dojść, dzieląc kilka różnych par liczb. Cztery podzielone przez osiem to jedna druga. Dziesięć podzielone przez dwadzieścia to też jedna druga. Dlatego ułamki

$$\frac12=\frac24=\frac36=\frac48=\ldots=\frac{10}{20}=\ldots$$

mają taką samą wartość.

Jak widać, do kolejnych ułamków o tej samej wartości doszliśmy, mnożąc w wyjściowym ułamku 1/2 przez dwa zarówno licznik, jak i mianownik. Po pomnożeniu wyszedł ułamek 2/4, dwie czwarte. Jeśli i w tym ułamku pomnożymy licznik i mianownik przez dwa, otrzymamy ułamek 4/8, cztery ósme. W ten sposób ułamek rozszerzaliśmy.

Działaniem odwrotnym do rozszerzania jest skracanie ułamków, w którym licznik i mianownik dzielimy przez tę samą liczbę. Jeśli chcemy skrócić ułamek, musimy znaleźć liczbę, przez którą dzieli się bez reszty zarówno licznik, jak i mianownik. Skracanie ułamków bardzo często przydaje się w praktyce, bo skrócony ułamek jest dużo prostszy i lepiej się z nim pracuje. Gdybyśmy mieli ułamek 12/18, rzut oka wystarczy, żeby zauważyć, że obie liczby są parzyste, a więc podzielne przez dwa. Oczywiście moglibyśmy skrócić ułamek przez dwa, ale już za drugim spojrzeniem widać, że licznik i mianownik dzielą się też przez sześć. Jeśli skrócimy ułamek przez sześć, powstanie prostszy ułamek, niż gdybyśmy skracali tylko przez dwa. Dlatego skrócimy ułamek przez sześć. Wychodzi ułamek 2/3.

Tego ułamka nie da się już dalej skrócić, nie ma liczby (większej od jedynki), przez którą moglibyśmy bez reszty podzielić zarówno licznik, jak i mianownik. O ułamku, którego nie da się już dalej skrócić, mówimy, że jest nieskracalny. Staraj się zawsze pracować z ułamkami nieskracalnymi: kiedy gdzieś liczysz z ułamkami, najpierw sprawdź, czy któregoś nie da się skrócić. Zaoszczędzisz czas. Jeszcze jeden przykład:

$$\frac{24}{42}$$

Przez jaką liczbę dzielą się jednocześnie 24 i 42? Obie liczby są parzyste, więc na pewno przez dwa. Podzielimy licznik i mianownik przez dwa:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Czy istnieje jakaś liczba, która dzieli jednocześnie obie liczby? Tak, tym razem trzy.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Czy wciąż istnieje jakaś liczba, która dzieli licznik i mianownik? Nie istnieje, ułamek jest nieskracalny.

Mnożenie ułamków

Może cię to zdziwi, ale mnożenie i dzielenie ułamków jest prostsze niż dodawanie i odejmowanie. Jeśli masz pomnożyć dwa ułamki, po prostu mnożysz licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik przez mianownik. To wszystko. Przykład mnożenia ułamków:

$$\frac23\cdot\frac57=\frac{2\cdot5}{3\cdot7}=\frac{10}{21}$$

Przy mnożeniu ułamków istnieje dodatkowo jeszcze jeden sposób skracania. Nie musisz skracać tylko w obrębie jednego ułamka, możesz skracać na krzyż. Jeśli da się skrócić licznik pierwszego ułamka z mianownikiem drugiego ułamka, możesz to zrobić i ułatwić sobie mnożenie. Przykład (skracane liczby są wyróżnione):

$$\frac{\fbox{4}}{5}\cdot\frac{3}{\fbox{8}}=\frac15\cdot\frac32=\frac{3}{10}$$

Co zrobiliśmy? Czwórkę i ósemkę podzieliliśmy przez cztery. Wartość iloczynu się nie zmieniła. Gdybyśmy nie skrócili tego teraz, moglibyśmy to zrobić dopiero po pomnożeniu.

Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą zamienisz po prostu na mnożenie dwóch ułamków, zapisując liczbę całkowitą c jako c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot5=\frac37\cdot\frac51=\frac{3\cdot5}{7\cdot1}=\frac{15}{7}$$

Jak widać, jeśli mnożysz ułamek przez liczbę całkowitą, wystarczy przez tę liczbę pomnożyć licznik ułamka.

$$c\cdot\frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Dzielenie ułamków

Dzielenie ułamków jest praktycznie takie samo jak mnożenie. Jeśli chcesz jeden ułamek podzielić przez drugi, odwracasz drugi ułamek (dzielnik) i normalnie mnożysz ułamki. Prosty przykład dzielenia ułamków (zauważ, że po odwróceniu ułamka możemy skrócić 12 i 6):

$$\frac{12}{7},:,\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot\frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot\frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Dzielenie zamieniliśmy na mnożenie, odwracając ułamek $\frac{6}{11}$ na ułamek $\frac{11}{6}$ i mnożąc go przez drugi, niezmieniony ułamek. Dlaczego to tak działa? Wystarczy wyobrazić to sobie na jakimś prostszym przykładzie, na przykład na dzieleniu przez jedną drugą. Jeśli dzielimy

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

co właściwie robimy? Sprawdzamy, ile razy jedna druga mieści się w dziesięciu. W każdej jedynce (w każdej całości) połowa mieści się dokładnie dwa razy (dwa razy jedna druga to jeden), więc w dziesięciu mieści się dwadzieścia razy. Do tego samego wyniku dojdziemy, gdy pomnożymy dwa razy dziesięć – też dwadzieścia. A jaką wartość dostaniemy, gdy odwrócimy jedną drugą? Dwie pierwsze, czyli dwa.

$$\frac12\rightarrow\frac21=2$$

W wyniku mamy więc:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot\frac21=10\cdot2=20.$$

Dodawanie ułamków

Dodawanie ułamków bywa już nieco bardziej skomplikowane. Ułamki możemy bowiem dodawać tylko wtedy, gdy mają taki sam mianownik. Jeśli ułamki nie mają takiego samego mianownika, musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika. Potem postępujemy prosto, podobnie jak przy mnożeniu: po prostu dodamy licznik pierwszego ułamka do licznika drugiego ułamka. W odróżnieniu od mnożenia mianownik jednak zostawiamy bez zmian. Najpierw przykład dodawania ułamków o tym samym mianowniku:

$$\frac12+\frac52=\frac62=3$$

Ma to sens? Jedna druga plus pięć drugich równa się sześciu drugim – to całkiem sensowne.

Jeśli ułamki nie mają takiego samego mianownika, co jest częstszym przypadkiem, musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika, czyli rozszerzyć jeden albo oba ułamki tak, żeby dostać ten sam mianownik. Chcemy dodać te dwa ułamki:

$$\frac23+\frac52=?$$

Pierwszy ułamek ma w mianowniku trójkę, drugi dwójkę. W tej chwili trudno je dodać, ale jeśli pierwszy ułamek rozszerzymy przez dwa, będzie miał w mianowniku szóstkę, a jeśli drugi ułamek rozszerzymy przez trzy, też będzie miał w mianowniku szóstkę. Teraz oba ułamki mają już wspólny mianownik i możemy je po prostu dodać. W pierwszym kroku rozszerzymy więc ułamki tak, żeby miały ten sam mianownik:

$$\frac23+\frac52=\frac{2\cdot2}{3\cdot2}+\frac{5\cdot3}{2\cdot3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

A teraz już tylko dodamy liczniki, a mianownik zostawimy taki sam:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Uważaj: przy dodawaniu nie możemy skracać na krzyż między ułamkami tak jak przy mnożeniu. Na przykład po przekształceniu mieliśmy w mianowniku pierwszego ułamka szóstkę, a w liczniku drugiego ułamka piętnastkę. Mimo to nie możemy skrócić przez trzy:

$$\frac{4}{\fbox{6}}+\frac{\fbox{15}}{6}\ne\frac42+\frac56$$

Na takie skracanie moglibyśmy sobie pozwolić tylko wtedy, gdybyśmy te ułamki mnożyli:

$$\frac{4}{\fbox{6}}\cdot\frac{\fbox{15}}{6}=\frac42\cdot\frac56$$

Jak ogólnie sprowadzić dwa ułamki do wspólnego mianownika? Pierwszy ułamek rozszerzymy przez mianownik drugiego ułamka, a drugi ułamek rozszerzymy przez mianownik pierwszego ułamka. Ogólnie możemy to zapisać tak:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Pierwszy ułamek rozszerzyliśmy przez wyrażenie d, czyli mianownik drugiego ułamka. Drugi ułamek rozszerzyliśmy przez wyrażenie b, czyli mianownik pierwszego ułamka. Konkretny przykład:

$$\frac74+\frac98=\frac{7\cdot8}{4\cdot8}+\frac{9\cdot4}{8\cdot4}$$

Pierwszy ułamek rozszerzyliśmy przez osiem, drugi przez cztery. Teraz już możemy ułamki dodać.

Ogólny wzór na dodawanie ułamków wyglądałby więc tak:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Odejmowanie ułamków

Odejmowanie ułamków przebiega dokładnie tak samo jak dodawanie, tylko liczników nie dodajemy, ale odejmujemy. Poprzedni ogólny wzór na dodawanie zmienimy więc tak:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Konkretny przykład; najpierw sprowadzimy ułamki do wspólnego mianownika:

$$\frac79-\frac25=\frac{7\cdot5}{9\cdot5}-\frac{2\cdot9}{5\cdot9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

A teraz już tylko odejmiemy liczniki, a mianownik zostawimy taki sam:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Mnożenie na krzyż

W równaniach możemy użyć mnożenia na krzyż, które upraszcza równość dwóch ułamków. W praktyce to nic innego jak dwa przekształcenia równoważne danego równania. Weźmy więc równanie z dwoma ułamkami

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

To równanie możemy przekształcić, mnożąc je przez mianownik pierwszego, a potem także drugiego ułamka. Najpierw pomnożymy równanie przez mianownik pierwszego ułamka, czyli przez wyrażenie b. Dostaniemy

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Potem pomnożymy równanie przez wyrażenie d i dostaniemy

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

W pierwszym ułamku skrócimy b, a w drugim d. Wynikiem jest równanie

$$ad=bc.$$

Możemy to więc traktować jako wzór: jeśli mamy równanie w postaci równości dwóch ułamków, możemy je przekształcić następująco:

$$\begin{eqnarray} \frac{a}{b}&=&\frac{c}{d}\rightarrow\\ ad&=&bc \end{eqnarray}$$

Oto przykład. W pierwszym kroku rozpiszemy ułamki według poprzedniego wzoru, a w drugim już tylko lekko przekształcimy wyrażenia po obu stronach.

$$\begin{eqnarray} \frac{x+2}{x}&=&\frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)&=&x\cdot3x\\ (x+2)^2&=&3x^2 \end{eqnarray}$$

Dalej równanie rozwiązalibyśmy jak zwykłe równanie kwadratowe, ale to już wykracza poza zakres tego artykułu.

Powiązane tematy

Ułamki często pojawiają się przy upraszczaniu wyrażeń, zajmuje się tym artykuł wyrażenia wymierne. Do dzielenia wielomianu przez wielomian istnieje osobny algorytm, opisany w artykule dzielenie wielomianów.