Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa to chyba najsłynniejsze twierdzenie matematyczne w ogóle. Życiorysem samego Pitagorasa z Samos nie będziemy się tu zajmować, od razu zabierzemy się do trójkątów.

Pole kwadratu zbudowanego na boku trójkąta

Twierdzenie Pitagorasa mówi nam o przydatnej zależności między polami kwadratów, które zbudujemy na bokach trójkąta prostokątnego. Wyobraźmy sobie, że mamy taki trójkąt prostokątny:

Kratka w tle pokazuje nam wymiary trójkąta. Przyprostokątna AC ma długość 4, a przyprostokątna BC ma długość 3. Ale jaką długość ma bok AB, czyli przeciwprostokątna trójkąta? Na pierwszy rzut oka tego nie odczytamy. Możemy jednak spróbować ją obliczyć.

Najpierw zbudujemy kwadrat na przyprostokątnej BC. Chodzi o to, że narysujemy kwadrat, którego wszystkie boki mają długość równą długości boku BC, czyli trzy. Na rysunku wyglądałoby to tak:

Powstał kwadrat BCDE, którego wszystkie boki mają długość 3. Jakie jest pole takiego kwadratu? Pole kwadratu obliczymy, mnożąc długości dwóch jego boków, więc pole kwadratu BCDE jest równe 3 · 3 = 9. Dorysujmy kwadrat na drugiej przyprostokątnej, na przyprostokątnej AC. Taki kwadrat będzie miał boki o długości 4.

Ten kwadrat będzie miał pole 4 · 4 = 16. Teraz dorysujemy ostatni kwadrat, zbudowany na przeciwprostokątnej AB:

Jakie pole ma ten nowy kwadrat, na razie nie wiemy, bo nie znamy długości boku AB. Teraz jednak możemy ładnie wykorzystać twierdzenie Pitagorasa. Mówi ono bowiem, że pole tego ostatniego kwadratu ABHI jest równe sumie pól dwóch poprzednich kwadratów. Pierwsze dwa kwadraty miały pola 9 i 16, więc ostatni kwadrat ma — zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa — pole 9 + 16 = 25. Zaznaczmy to na rysunku:

Zostaje już tylko odpowiedzieć na ostatnie pytanie — jeśli kwadrat ABHI ma pole 25, jaką długość mają jego boki? Musi to być pierwiastek z 25, więc bok AB ma długość $\sqrt{25}=5$. Kiedy to sprawdzimy i obliczymy pole kwadratu o boku 5, otrzymamy pole 5 · 5 = 25. A teraz możemy przejść do liczb i definicji.

Treść twierdzenia

Twierdzenie Pitagorasa brzmi mniej więcej tak: „Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na jego przyprostokątnych”. Matematycznie zapisuje się je zwykle tak:

$$c^2 = a^2 + b^2,$$

gdzie a i b to długości przyprostokątnych trójkąta, a c to długość przeciwprostokątnej.

Co więc mówi twierdzenie Pitagorasa i jak ten zapis wiąże się z poprzednim rysunkiem? Pole kwadratu zbudowanego na boku trójkąta oznacza, że bierzemy kwadrat, którego bok ma taką samą długość jak dany bok trójkąta, i obliczamy jego pole. Pole kwadratu obliczymy, mnożąc długość jednego boku przez długość drugiego boku, czyli jeśli bok ma długość c, pole S (w polskiej szkole zwykle P) będzie równe S = c · c, co za pomocą potęg możemy zapisać jako S = c².

Zapis c² = a² + b² możemy więc czytać właśnie jako „pole kwadratu o boku c jest równe sumie pól kwadratów o bokach a i b”.

Jeszcze raz podkreślę, że twierdzenie zachodzi tylko w trójkącie prostokątnym, a nie w dowolnym trójkącie. Twierdzenie Pitagorasa stosuje się klasycznie wtedy, gdy znasz długości dwóch boków i potrzebujesz obliczyć długość trzeciego boku. Jeśli więc znamy długości obu przyprostokątnych a i b i chcemy otrzymać długość przeciwprostokątnej c, obliczamy pola kwadratów na przyprostokątnych, czyli obliczamy a² + b². W ten sposób otrzymujemy pole kwadratu na przeciwprostokątnej c, czyli c². Żeby otrzymać długość boku c, wystarczy obliczone pole spierwiastkować. Otrzymujemy wzór:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

gdzie c to długość przeciwprostokątnej, a a, b to długości przyprostokątnych. Gdybyśmy natomiast znali długość przeciwprostokątnej i jednej przyprostokątnej i chcieli obliczyć długość drugiej przyprostokątnej, liczylibyśmy tak samo, tylko najpierw wyznaczylibyśmy z równania jedną z przyprostokątnych. Jeśli więc znamy c i b i chcemy obliczyć a, to w równaniu

$$c^2 = a^2 + b^2,$$

wyznaczymy a² tak, że odejmiemy b²:

$$c^2 - b^2 = a^2,$$

zamienimy lewą i prawą stronę:

$$ a^2=c^2-b^2 $$

i na koniec spierwiastkujemy:

$$ a=\sqrt{c^2-b^2} $$

Przykład pierwszy

Mamy trójkąt ABC, w którym znamy długości dwóch boków: a = 3 i b = 4. To ten sam trójkąt, który mieliśmy na początku. Pytanie brzmi: jaką długość ma trzeci bok, bok c? Spróbujemy to obliczyć za pomocą podanego wzoru. Trójkąt przedstawia następujący rysunek:

Widzimy, że znamy długości dwóch przyprostokątnych, a brakuje nam długości przeciwprostokątnej. Dlatego użyjemy pierwszego, nieprzekształconego wzoru:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Za zmienne a i b podstawiamy długości boków:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

We wzorze mamy kwadrat liczby, czyli drugą potęgę — dla przypomnienia zachodzi taka zależność:

$$a^2=a\cdot a\quad\rightarrow\quad4^2=4\cdot4=16$$

Po obliczeniu kwadratów otrzymujemy więc:

$$\begin{eqnarray} c&=&\sqrt{3^2+4^2}\\ c&=&\sqrt{9+16}\\ c&=&\sqrt{25}\\ c&=&5 \end{eqnarray}$$

Wynik jest taki, że bok c ma długość pięć.

Przykład drugi

W tym przykładzie spróbujemy obliczyć długość jednej z przyprostokątnych, jeśli znamy drugą przyprostokątną i do tego długość przeciwprostokątnej. Mamy więc trójkąt ABC o długościach boków |AC| = 10 i |BC| = 6. Trójkąt przedstawia następujący rysunek:

Z rysunku widać, że przeciwprostokątną, czyli najdłuższym bokiem, jest bok |AC|. Potrzebujemy obliczyć długość boku |AB|. Podstawimy do drugiego wzoru, tego na długość przyprostokątnej:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Żeby poprawnie użyć twierdzenia Pitagorasa, musimy sobie teraz uświadomić, co oznacza każda zmienna. W tym wzorze zmienna a to długość boku, który chcemy obliczyć, w naszym przypadku boku |AB|. Zmienna c to długość przeciwprostokątnej, czyli najdłuższego boku, w naszym przypadku boku |AC|. A zmienna b to długość przyprostokątnej, którą znamy, w naszym przypadku |BC|. Dlatego podstawimy do wzoru tak:

$$|AB|=\sqrt{|AC|^2-|BC|^2}$$

Podstawiamy konkretne długości boków, które znamy:

$$|AB|=\sqrt{10^2-6^2}$$

Obliczamy potęgi i odejmujemy:

$$|AB|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

I na koniec pierwiastkujemy:

$$|AB|=8$$

Bok |AB| ma długość osiem.

Zadanie tekstowe

Wyobraź sobie, że idziesz do koleżanki prostą drogą. Ta droga ma długość 250 metrów. Po przejściu tego ćwierć kilometra skręcasz w lewo, idziesz kolejne 100 metrów i jesteś u swojej dobrej koleżanki. Pytanie brzmi: o ile krótsza będzie droga, jeśli pójdziesz na skróty, prosto przez pole?

Najpierw obliczymy długość drogi, jeśli pójdziesz drogą. Przejdziesz 250 metrów prosto, a potem 100 metrów w lewo. To razem 250 + 100 = 350 metrów. Teraz czas na obliczenie długości drogi przez pole. Do tego przyda się rysunek.

Jedna kratka na rysunku to 50 metrów. Jak wyglądałaby prosta droga przez pole? Byłby to odcinek od punktu A do punktu C. Zaznaczymy go na rysunku na czerwono.

Teraz już widać, że do obliczenia długości drogi przez pole wystarczy odpowiednio zastosować twierdzenie Pitagorasa. Szukamy długości przeciwprostokątnej i znamy długości obu przyprostokątnych, więc użyjemy pierwszego wzoru i podstawimy do niego tak:

$$|AC|=\sqrt{|AB|^2+|CB|^2}$$

Podstawiamy długości:

$$|AC|=\sqrt{250^2+100^2}$$

Podnosimy do potęgi:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Pierwiastkujemy i zaokrąglamy:

$$|AC|=269$$

Droga przez pole ma długość 269 metrów. To jeszcze nie koniec zadania, pytanie brzmiało, o ile droga przez pole jest krótsza. Odejmujemy więc długości od siebie, różnicę oznaczymy r:

$$r=350-269=81$$

Odpowiedź: droga jest krótsza o około 81 metrów.

Długość boku kwadratu

Jaką długość ma bok kwadratu, którego przekątna ma długość dziesięć? Jak pomoże nam w tym twierdzenie Pitagorasa? Musimy w kwadracie znaleźć jakiś trójkąt prostokątny, którego użyjemy do obliczenia długości boku kwadratu. Tylko dla przypomnienia: kwadrat ma cztery boki tej samej długości. Narysujmy obecną sytuację:

Widzimy, że w kwadracie nagle pojawiły się dwa trójkąty, które mają kąt prosty i których moglibyśmy użyć do obliczenia długości boku. Weźmy na przykład trójkąt BCD. Bok DB jest przeciwprostokątną, pozostałe dwa to przyprostokątne. Długości przyprostokątnych nie znamy, ale znamy długość przeciwprostokątnej. Te przyprostokątne mają tę samą długość, czyli |BC| = |CD|. Użyjemy podstawowej postaci twierdzenia Pitagorasa:

$$|BD|^2=|BC|^2+|CD|^2$$

Ponieważ jednak przyprostokątne są równe, wystarczy nam obliczyć kwadrat jednej przyprostokątnej i pomnożyć go przez dwa — nie musimy liczyć kwadratów obu przyprostokątnych, bo są takie same i wyszedłby nam ten sam wynik. Możemy więc napisać:

$$|BD|^2=2\left(|BC|^2\right)$$

Znamy długość boku BD, to przeciwprostokątna. Jej długość wynosi dziesięć. Podstawiamy do równania:

$$10^2=2\left(|BC|^2\right)$$

Podnosimy dziesiątkę do kwadratu:

$$100=2\left(|BC|^2\right)$$

Dzielimy przez dwa:

$$\frac{100}{2}=|BC|^2$$

Skracamy ułamek:

$$50=|BC|^2$$

Jesteśmy już prawie u celu. Wiemy, że kwadrat długości boku kwadratu jest równy 50. Żeby poznać długość boku, musimy jeszcze obie strony równania spierwiastkować, na co możemy sobie pozwolić, bo obie strony są liczbami dodatnimi:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC|^2}$$

Pierwiastek z pięćdziesięciu zostawimy w tej postaci, ale po prawej stronie równania możemy usunąć pierwiastek i potęgę, bo wzajemnie się znoszą.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Jeśli chcesz, możesz spierwiastkować też tę pięćdziesiątkę. Po zaokrągleniu wyszłaby ci siódemka:

$$7=|BC|$$

Bok kwadratu ma więc długość mniej więcej siedem, a dokładnie pierwiastek z pięćdziesięciu.