Granica funkcji

Granica funkcji to jedno z najważniejszych pojęć analizy matematycznej. Opisuje zachowanie jakiejś funkcji w otoczeniu określonego punktu, dzięki czemu możemy na przykład zdefiniować ciągłość funkcji. Granica funkcji pomoże nam zrozumieć zachowanie funkcji nawet w miejscach, w których funkcja w ogóle nie jest określona.

Otoczenie punktu

Zaczniemy od definicji otoczenia punktu o promieniu epsilon w zbiorze liczb rzeczywistych. Niech r ∈ ℝ. Wtedy mówimy, że otoczeniem tego punktu o promieniu ε > 0 jest przedział otwarty (r−ε, r+ε). Sąsiedztwo punktu (otoczenie bez samego punktu) wygląda tak samo, tylko nie zawiera punktu r. Sąsiedztwo to (r−ε, r) ∪ (r, r+ε). Otoczenie punktu a o promieniu epsilon oznaczamy U(a, ε), a sąsiedztwo R(a, ε).

Dla przykładu weźmy liczbę pięć i jej otoczenie o promieniu 2. Obliczamy więc U(5, 2), czyli przedział (5 − 2, 5 + 2) = (3, 7). Sąsiedztwo byłoby R(5, 2) = (3, 5) ∪ (5, 7). To samo otoczenie, tylko bez punktu pięć. Graficznie przedstawione otoczenie punktu 5 o promieniu 2:

Sąsiedztwo o promieniu 2 wyglądałoby tak samo, tylko nie należałby do niego niebieski punkt 5.

Punkt skupienia

Dalej potrzebujemy znać definicję punktu skupienia zbioru. Element a ∈ ℝ jest punktem skupienia zbioru M ⊆ ℝ, jeśli w każdym jego sąsiedztwie, choćby nie wiadomo jak małym, leży jakiś punkt zbioru M. Dokładniej:

$$\forall \epsilon > 0: R(a, \epsilon) \cap M \ne \emptyset$$

Przykłady: każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb rzeczywistych. Jeśli wybierzemy liczbę 10, to w dowolnym sąsiedztwie tego punktu zawsze znajdziemy liczbę rzeczywistą. Dla $\epsilon=\frac{1}{100}$ dostajemy sąsiedztwo (9,99; 10) ∪ (10; 10,01). W obu przedziałach leży jakaś liczba rzeczywista – dokładniej leży tam nieskończenie wiele liczb rzeczywistych. Choćbyśmy więc wzięli nie wiadomo jak małe ε, zawsze dostaniemy przedziały, które zawierają nieskończenie wiele liczb rzeczywistych.

Gdybyśmy za M przyjęli zbiór liczb naturalnych, nie znaleźlibyśmy żadnego punktu skupienia. Na przykład liczba $\frac12$ nie jest punktem skupienia, bo dla $\epsilon=\frac{1}{10}$ dostajemy przedziały (0,4; 0,5) ∪ (0,5; 0,6), a żaden z tych przedziałów nie zawiera żadnej liczby naturalnej.

Po co nam granice

Zaczniemy od najprostszej definicji – granicy właściwej w punkcie właściwym. Najpierw pokażemy, co właściwie będziemy chcieli obliczyć. Spójrz na następujący wykres funkcji signum:

Jeśli weźmiemy punkt x₁ = 3, to wartość funkcji w tym punkcie wynosi 1. Zachodzi $\mbox{sgn}(3)=1$. Jednocześnie dla wszystkich „bliskich” sąsiednich punktów funkcja ma wartość 1, na przykład $\mbox{sgn}(2,5)=1$ albo $\mbox{sgn}(3,5)=1$. Jeśli zbliżamy się do punktu x₁ = 3 z lewej albo z prawej strony, wartości funkcji są zawsze równe jeden.

Ale jeśli weźmiemy punkt x₂ = 0, to $\mbox{sgn}(0) = 0$, a przecież wszystkie sąsiednie punkty mają inną wartość funkcji! Na przykład $\mbox{sgn}(-\frac12)=-1$ albo $\mbox{sgn}(\frac12)=1$. Wartości funkcji z prawej strony zbliżają się do wartości 1, podczas gdy wartości z lewej strony zbliżają się do wartości −1. A na koniec w punkcie x₂ = 0 dostajemy wartość 0. Pułapka. Te wartości, do których funkcja w danym punkcie się zbliża, nazywamy właśnie granicami funkcji w punkcie.

Definicja granicy właściwej w punkcie właściwym

Niech f będzie funkcją, a x₀ ∈ ℝ punktem skupienia dziedziny funkcji f. Wtedy mówimy, że L ∈ ℝ jest granicą funkcji f w punkcie x₀, jeżeli

$$(\forall \epsilon > 0),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),(0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon).$$

A teraz, co ta definicja oznacza. Punkt właściwy oznacza w tym przypadku, że dany punkt jest liczbą rzeczywistą. Później będziemy mówić o granicach w punktach niewłaściwych, czyli w nieskończoności. Spróbujmy obliczyć taką granicę:

$$ \lim_{x\rightarrow3} \frac{x}{3} = ?. $$

Dla tak prostych funkcji granica funkcji w punkcie x₀ jest równa wartości funkcji w tym punkcie: f(x₀). Później dokładnie zdefiniujemy, co znaczy „prosta funkcja”. Teraz zaznaczmy wszystko na rysunku:

Czarna prosta to wykres funkcji $f(x)=\frac{x}{3}$, czerwony punkt x₀ to punkt, w którym szukamy granicy, a zielony punkt L to szukana granica. Zauważ, że granicę zaznaczamy na osi y.

Będziemy dalej postępować zgodnie z definicją. Na pierwszym miejscu w definicji jest $(\forall \epsilon > 0)$, a później ε pojawia się w |f(x)−L|<ε – to taki matematyczny zapis tego, że chcemy, żeby wszystkie f(x) były oddalone od L o mniej niż ε. Szukamy więc otoczenia punktu L o promieniu ε na osi y. Zgodnie z definicją możemy wybrać dowolne ε > 0, wybierzmy na przykład $\epsilon = \frac{3}{10}$. Znajdźmy na osi y punkty, które są oddalone od punktu L dokładnie o ε:

Wszystkie punkty na osi y, które leżą między tymi zielonymi liniami, leżą w otoczeniu punktu L o promieniu ε. To są te punkty, o których mówi definicja.

Definicja jest dalej kontynuowana wyrażeniem $(\exists\delta>0)$, które pojawia się później w wyrażeniu 0<|x − x₀|<δ. Mówimy w nim, że pewna różnica x − x₀ ma być mniejsza niż δ. Ponieważ x, x₀ leżą na osi x, wartość δ też będziemy zaznaczać na osi x. Wyrażenie 0<|x − x₀|<δ mówi nam znowu, żebyśmy wzięli wszystkie x, które są oddalone od x₀ o mniej niż δ, ale jednocześnie o więcej niż zero, tzn. x ≠ x₀. Oznacza to, że ten zapis opisuje sąsiedztwo punktu x₀ o promieniu δ. Definicję granicy możemy więc równoważnie zapisać za pomocą otoczeń punktów:

$$(\forall \epsilon > 0),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),(x\in R(x_0, \delta) \Rightarrow f(x) \in U(L, \epsilon))$$

Wróćmy do poprzedniej definicji i rysujmy dalej. Żeby to przedstawić, potrzebujemy kolejnej części definicji:

$$ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon $$

Czyli dla wszystkich x z sąsiedztwa punktu x₀ o promieniu δ musi zachodzić… pewien warunek. Dodajmy do rysunku sąsiedztwo punktu x₀ o promieniu δ, na przykład dla $\delta=\frac{3}{2}$:

Wszystkie x, które leżą między czerwonymi przerywanymi liniami, należą do sąsiedztwa x₀ o promieniu δ (sam punkt x₀ do niego nie należy). Spójrzmy jeszcze raz na poprzedni warunek:

$$ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon $$

Dla wszystkich x z sąsiedztwa punktu x₀ o promieniu δ musi zachodzić, że wszystkie wartości funkcji f(x) leżą w otoczeniu punktu L o promieniu ε. Weźmy więc wszystkie x z sąsiedztwa punktu x₀ o promieniu δ i obliczmy wartości funkcji. Te wartości funkcji są na następnym rysunku zaznaczone niebieskim odcinkiem:

Punkt x₀ nie należy do sąsiedztwa, dlatego w tym miejscu jest kółko. Definicja mówi nam, że wszystkie te niebieskie punkty muszą leżeć w otoczeniu punktu L o promieniu ε. Mówiąc kolorami z rysunku: wszystkie niebieskie punkty muszą leżeć między zielonymi liniami, które przedstawiają otoczenie o promieniu ε. Czy tak jest?

Oczywiście, że nie, na przykład dla $x=\frac{16}{10}$ wyraźnie dostajemy jakiś niebieski punkt, który nie leży między zielonymi liniami, tzn. nie leży w otoczeniu punktu L o promieniu ε.

To jednak nie szkodzi, definicja mówi nam, że dla każdego otoczenia punktu L o promieniu ε musi istnieć jakieś otoczenie o promieniu δ takie, że … reszta warunku. Oznacza to, że wystarczy nam, jeśli istnieje jedno takie otoczenie o promieniu δ. $\delta=\frac{3}{2}$ najwyraźniej nie było dobrym wyborem, ale możemy spróbować innego δ, na przykład $\delta=\frac12$. Rysunek zmieniłby się tak:

Znowu sprawdzamy, czy wszystkie wartości funkcji dla wszystkich x z sąsiedztwa punktu x₀ o promieniu δ leżą w otoczeniu punktu L o promieniu ε. Krótko mówiąc, czy wszystkie niebieskie punkty leżą między zielonymi liniami. Tak, teraz już leżą, hurra.

Czy to oznacza, że L jest granicą funkcji w punkcie x₀? Niekoniecznie, definicja mówi bowiem $(\forall \epsilon > 0) \ldots$. Na razie sprawdziliśmy definicję dla jednego konkretnego ε, zostało ich jeszcze… nieskończenie wiele.

Innymi słowy – żeby naprawdę zachodziło $\lim_{x\rightarrow3} \frac{x}{3} = 1$, musielibyśmy dla każdego otoczenia o promieniu ε znaleźć jakieś otoczenie o promieniu δ takie, żeby zachodził poprzedni warunek. Z rysunku widać, że takie otoczenie o promieniu δ zawsze znajdziemy, na przykład jeśli zmniejszymy ε do $\epsilon=\frac{1}{10}$, możemy zmniejszyć δ do $\delta=\frac{2}{10}$ i to zadziała:

Choćbyśmy wzięli nie wiadomo jak małe ε, zawsze musimy znaleźć takie δ, żebyśmy potrafili zmieścić wartości funkcji w otoczeniu granicy funkcji L o promieniu ε.

Sprawdzenie granicy właściwej w punkcie właściwym z definicji

Spróbujmy poprzednią granicę naprawdę udowodnić. Z rysunku wiemy już, że najpewniej

$$ \lim_{x\rightarrow3} \frac{x}{3} = 1, $$

teraz spróbujemy to udowodnić matematycznie. Z rysunku moglibyśmy wywnioskować, że jeśli za δ zawsze weźmiemy tę samą wartość, jaką ma ε, to mogłoby się udać. Przyjmijmy więc δ = ε. Teraz musimy udowodnić

$$ L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon, \quad \mbox{dla wszystkich}\quad x \in (x_0-\delta, x_0)\cup(x_0, x_0+\delta) $$

Ponieważ przyjęliśmy δ = ε, zamieniamy wszystkie δ na ε:

$$ L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon, \quad \mbox{dla wszystkich}\quad x \in (x_0-\epsilon, x_0)\cup(x_0, x_0+\epsilon) $$

Za L podstawiamy 1, a za x₀ podstawiamy 3:

$$ 1 - \epsilon < f(x) < 1 + \epsilon, \quad \mbox{dla wszystkich}\quad x \in (3-\epsilon, 3)\cup(3, 3+\epsilon) $$

Teraz powinniśmy udowodnić wszystkie nierówności. Ponieważ funkcja $\frac{x}{3}$ jest rosnąca, wystarczy sprawdzić punkty krańcowe 3−ε i 3+ε. Zaczniemy od 3−ε – podstawiamy do funkcji $\frac{x}{3}$ wartość 3−ε i pokazujemy, że ta wartość zawsze spełnia nierówności 1 − ε < f(x) < 1 + ε:

\begin{eqnarray} 1 - \epsilon < &f(x)& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{x}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{3-\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{3}{3}-\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &1-\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ -\epsilon < &-\frac{\epsilon}{3}& < \epsilon\\ \end{eqnarray}

To samo dla 3+ε:

\begin{eqnarray} 1 - \epsilon < &f(x)& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{x}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{3+\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &\frac{3}{3}+\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ 1 - \epsilon < &1+\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\\ -\epsilon < &\frac{\epsilon}{3}& < \epsilon\\ \end{eqnarray}

Źle wyznaczona granica

Teraz naszkicujmy jeszcze, co by się stało, gdybyśmy myśleli, że granica funkcji przy x dążącym do trzech ma wartość jedna druga. Wybralibyśmy sobie jakieś małe otoczenie o promieniu epsilon:

I w tym momencie nie możemy już znaleźć takiego otoczenia punktu x₀ o promieniu delta, którego wszystkie wartości funkcji zmieściłyby się między tymi zielonymi liniami. Widzimy, że dla wybranego otoczenia o promieniu δ wszystkie niebieskie punkty leżą poza zielonymi liniami. Gdybyśmy otoczenie o promieniu δ powiększyli, zwiększylibyśmy tylko liczbę niebieskich punktów, których nie zmieścimy między zielonymi liniami.

Granica funkcji signum

Signum to piękna funkcja, która pewnie zakręci ci w głowie. Oto wykres:

Wykres nie jest całkiem czytelny, więc opis słowny: jeśli x jest ujemne, to signum wynosi minus jeden, jeśli jest dodatnie, to plus jeden, a jeśli x jest zerem, to signum też jest zerem. Przekształćmy wykres za pomocą wartości bezwzględnej f(x) = |sgn(x)|, dostaniemy wtedy |sgn(0)| = 0, a w pozostałych przypadkach |sgn(x)| = 1. Wykres:

Pytanie brzmi: ile wynosi ta granica?

$$\lim_{x\rightarrow0}|\mbox{sgn}(x)|=?$$

Funkcja jest w punkcie zero określona i jej wartość jest też równa zero. To jednak nie mówi nam, że granica też będzie równa zero. Granica może się różnić od wartości funkcji w danym punkcie.

Jedyna możliwość, żeby definicja się zgadzała, to przyjąć, że granica wynosi jeden. Możemy sobie pomóc też intuicją: do czego zbliża się wartość funkcji, jeśli x zbliża się do zera z lewej strony? Ciągle zbliża się do jedynki. To, że na końcu przeskoczy do zera, nam nie przeszkadza. Podobnie dla x zbliżającego się do zera z prawej strony.

$$\lim_{x\rightarrow0}|\mbox{sgn}(x)|=1$$

Gdybyśmy zostawili funkcję w pierwotnej postaci, tzn. f(x) = sgn(x), to funkcja w punkcie zero nie będzie miała granicy, będzie miała dwie różne granice jednostronne. Z lewej strony funkcja będzie zbliżać się do minus jedynki, a z prawej do plus jedynki. Możesz spróbować to udowodnić z definicji.

Granice, które nie istnieją

Pokażemy jeszcze kilka przykładów, kiedy granice nie istnieją.

Najprostszym przykładem nieistnienia granicy jest próba obliczenia granicy w punkcie, który nie jest punktem skupienia D(f). Nie istnieje więc na przykład granica:

$$\lim_{x\rightarrow-1}\ln x$$

Wykres:

Funkcje okresowe często nie mają granicy w nieskończoności (nie dotyczy to wszystkich!). Typowo funkcje trygonometryczne, na przykład sinus. Oto wykres:

Granica w nieskończoności po prostu nie istnieje, wartość sinusa ciągle oscyluje między jedynką a minus jedynką, więc granicy nie da się obliczyć.