Ciągłość funkcji

Ciągłość funkcji mówi nam, jak podpowiada intuicja, czy funkcja jest w danym punkcie ciągła, czy może jest w jakiś sposób rozerwana. Ciągłość definiujemy i badamy za pomocą granic funkcji, więc jeśli ich nie opanowałeś, nie będziesz wiedział, o co chodzi.

Definicja ciągłości funkcji

Ciągłość, o dziwo, daje się dość prosto zdefiniować i łatwo ją zrozumieć, jeśli w pełni zrozumiałeś granice. A więc definicja ciągłości funkcji:

Funkcję f(x) nazywamy ciągłą w punkcie a z dziedziny funkcji f, jeżeli zachodzi:

$$ \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a) $$

Możemy jeszcze zdefiniować ciągłość lewostronną i prawostronną, jeśli w miejsce granicy weźmiemy granicę lewostronną lub prawostronną. Zauważ:

• Zdefiniowaliśmy na razie tylko ciągłość funkcji f w punkcie. Jeśli funkcja f jest ciągła we wszystkich punktach swojej dziedziny, to możemy o funkcji f powiedzieć, że jest to funkcja ciągła na całej dziedzinie.
• Punkt a w definicji ciągłości musi być punktem skupienia.
• Żeby funkcja była w punkcie a ciągła, musi istnieć f(a) (wartość a musi należeć do dziedziny funkcji), musi istnieć granica $\lim_{x\rightarrow a} f(x)$ i obie te wartości muszą być sobie równe.
• Funkcja ciągła w punkcie jest w nim ciągła lewostronnie i prawostronnie. Funkcja, podobnie jak to było przy granicach, może być w punkcie ciągła tylko lewostronnie albo tylko prawostronnie. Jeśli granica lewostronna i prawostronna się różnią, funkcja nie jest w tym punkcie ciągła.

Co mówi nam definicja? Po pierwsze funkcja musi być w danym punkcie określona. Jeśli funkcja nie jest w danym punkcie określona, to na pewno nie jest w tym punkcie także ciągła. Jeśli jest określona, patrzymy na granice. Jeśli funkcja zarówno z prawej, jak i z lewej strony zbliża się do wartości funkcji w danym punkcie, to funkcja jest w tym punkcie ciągła. Jeśli granice są różne od wartości funkcji, to funkcja jest w danym punkcie nieciągła.

Prosty przykład: w artykule granica funkcji pokazywaliśmy funkcję $f(x)=\frac{x}{3}$, to prosta funkcja liniowa. Dla dowolnego punktu a∈ ℝ zachodzi

$$ \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a). $$

Funkcja f jest więc ciągła na całej swojej dziedzinie. Na przykład gdybyśmy za a podstawili liczbę 6, mielibyśmy:

\begin{eqnarray} f(6) &=& 2\\ \lim_{x\rightarrow 6} \frac{x}{3} &=& 2\\ \end{eqnarray}

Punkty nieciągłości

Jeśli funkcja nie jest w punkcie a ciągła, oznacza to, że jest w tym punkcie nieciągła. To nie jest wielka niespodzianka. Rozróżniamy jednak kilka rodzajów punktów nieciągłości, w zależności od tego, jak bardzo musielibyśmy „poprawić wykres funkcji”, żeby funkcja była ciągła.

Mamy trzy podstawowe rodzaje nieciągłości:

Punkt nieciągłości usuwalnej

Punktem nieciągłości usuwalnej nazywamy punkt, w którym istnieją obie granice jednostronne i są one równe, tzn. funkcja ma w danym punkcie granicę, ale ta granica jest różna od wartości funkcji albo funkcja nie jest w tym punkcie określona. Jeśli a jest punktem nieciągłości usuwalnej funkcji f(x), to zachodzi:

$$ \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \lim_{x\rightarrow a^-} f(x), \quad \mbox{ ale }\quad \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) \ne f(a) \ne \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) $$

Jako przykład pokażemy wartość bezwzględną z funkcji signum x. Chcemy wiedzieć, czy funkcja jest ciągła w punkcie a = 0. Oto wykres:

Widzimy, że funkcja jest prawie cała ciągła, tylko w punkcie zero jest przerwa, bo wartość funkcji jest tu równa zeru, a nie jedynce. Przy tym granice lewostronna i prawostronna są w tym punkcie równe jeden. Taką nieciągłość nazywamy usuwalną, bo prostym przedefiniowaniem tego jednego punktu dostaniemy funkcję ciągłą. Ten punkt nieciągłości daje się więc łatwo usunąć.

Punkt nieciągłości pierwszego rodzaju

Punktem nieciągłości pierwszego rodzaju nazywamy punkt a, w którym istnieją obie granice jednostronne, są one ponadto właściwe (skończone), ale nie są sobie równe. Definicja:

$$ \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) \ne \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) $$

Ten punkt nieciągłości pokażemy na prostej funkcji f(x) = sgn(x):

Znowu widzimy, że w punkcie a = 0 funkcja jest nieciągła. Przy tym granica lewostronna jest równa −1, a granica prawostronna jest równa 1:

\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow0^-} \mbox{sgn}(x) &=& -1\\ \lim_{x\rightarrow0^+} \mbox{sgn}(x) &=& 1\\ \end{eqnarray}

Granice lewostronna i prawostronna nie są równe, ale są właściwe (skończone). Jest to więc punkt nieciągłości pierwszego rodzaju.

Dla tego punktu nieciągłości definiujemy jeszcze pojęcie skoku funkcji w punkcie. Jest to różnica tych granic, więc skokiem s funkcji f w punkcie a jest wartość:

$$ s = \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) - \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) $$

Punkt nieciągłości drugiego rodzaju

Punktem nieciągłości drugiego rodzaju nazywamy punkt, w którym co najmniej jedna granica jednostronna jest niewłaściwa (nieskończona) albo co najmniej jedna granica jednostronna nie istnieje. Jako przykład pokażemy funkcję $f(x)=\frac{1}{x}$. Punktem nieciągłości jest zero:

Granica lewostronna w punkcie zero to minus nieskończoność, a granica prawostronna w punkcie zero to plus nieskończoność. Obie granice są niewłaściwe, więc jest to punkt nieciągłości drugiego rodzaju. Tej nieciągłości nie da się usunąć żadnym prostym sposobem.

Ciągłość w przedziale

Mamy już zdefiniowaną ciągłość w punkcie, ale nie mamy zdefiniowanej ciągłości w jakimś przedziale. A więc: funkcja jest ciągła w przedziale I, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Ważne jest staranne rozróżnianie przedziału otwartego i domkniętego. Jeśli mamy przedział obustronnie otwarty, funkcja nie musi być ciągła na końcach przedziału – choćby dlatego, że przedział otwarty swoich końców nie zawiera. Jeśli jednak mamy przedział domknięty, funkcja musi być na końcach przedziału ciągła prawostronnie lub lewostronnie.

Dawno nie mieliśmy nigdzie funkcji signum. Weźmy więc funkcję signum. W przedziale otwartym (0, ∞) funkcja jest ciągła. Funkcja signum ma co prawda punkt nieciągłości w zerze, ale dzięki temu, że przedział jest otwarty, zero jest wyłączone z badania. W przedziale <0, ∞) funkcja już ciągła nie jest, bo nie jest prawostronnie ciągła w punkcie 0.

A dlaczego nie jest prawostronnie ciągła? Bo granica prawostronna jest równa jeden, ale wartość funkcji jest równa zeru. Te wartości nie są równe, więc funkcja nie jest w danym punkcie prawostronnie ciągła.

Funkcję nazwiemy przedziałami ciągłą, jeśli ma skończenie wiele punktów nieciągłości pierwszego rodzaju (lub nieciągłości usuwalnej). Jeśli więc ma nieskończenie wiele punktów nieciągłości, nie jest przedziałami ciągła, na to uważaj.

Ciągłość funkcji w praktyce badamy za pomocą pochodnej funkcji. Funkcja, która jest w punkcie różniczkowalna, jest w tym punkcie także ciągła.