Całka

Całkowanie funkcji to proces odwrotny do różniczkowania funkcji.

Funkcja pierwotna

Zaczniemy od łatwego zadania. Weźmy funkcję f(x) = 2x. Znajdźmy teraz taką funkcję F, która po zróżniczkowaniu będzie równa funkcji f. Zapisując to formalnie, szukamy funkcji F takiej, że $F^{\prime}=f$.

Z podstawowych wzorów na pochodne wiemy, że jest to funkcja F(x) = x². Pochodna funkcji x² jest równa właśnie 2x. Pytanie brzmi, czy jest to jedyna funkcja, która spełnia ten warunek.

Odpowiedź brzmi: nie. Jeśli do funkcji x² dodamy dowolną stałą rzeczywistą, to po zróżniczkowaniu znowu dostaniemy funkcję 2x, bo pochodna stałej jest równa zeru. Każdą funkcję postaci x² + c, gdzie c jest stałą rzeczywistą, możemy uznać za szukaną funkcję F.

To zadanie możemy uogólnić. Weźmy daną funkcję rzeczywistą f i znajdźmy taką funkcję F, dla której $F^{\prime}(x) = f(x)$ dla wszystkich x z D(f), ewentualnie z jakiegoś przedziału zawartego w dziedzinie. Ta funkcja nie musi być wyznaczona jednoznacznie, ale z drugiej strony taka funkcja wcale nie musi istnieć.

Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f. Zapisujemy:

$$ F(x) = \int f(x) \mbox{ d}x $$

Funkcję f nazywamy funkcją podcałkową, a szukanie funkcji pierwotnej to całkowanie. Wyrażenie dx mówi, względem której zmiennej całkujemy. Jeśli zapiszemy przykład tak

$$ \int 4x^3 \mbox{ d}x, $$

to chcemy znaleźć funkcję pierwotną funkcji 4x³, przy czym całkujemy względem zmiennej x. Wynikiem może więc być funkcja x⁴, która po zróżniczkowaniu jest równa właśnie 4x³. Oczywiście do tej funkcji możemy dodać dowolną stałą rzeczywistą.

Można udowodnić, że funkcja pierwotna albo nie istnieje, albo ma zawsze postać F(x)+c, gdzie c jest jakąś stałą rzeczywistą — a wtedy jest ich nieskończenie wiele, bo stałych rzeczywistych jest nieskończenie wiele. Jeśli więc znajdziemy funkcję F(x), potrafimy wygenerować wszystkie funkcje pierwotne. Zarazem żadna inna funkcja, której nie wygenerowalibyśmy w ten sposób, nie jest już funkcją pierwotną naszej funkcji.

Jeszcze kilka słów o wyrażeniu dx. Wygląda bardzo tajemniczo, ale naprawdę mówi tylko, względem której zmiennej całkujemy. Jeśli na przykład mamy całkę

$$ \int a\cdot b+c \mbox{ d}b, $$

oznacza to, że całkujemy względem zmiennej b, a pozostałe litery a i c zachowują się jak stałe. Czyli zachowują się tak samo, jakby stały tam liczby.

Całkowanie funkcji elementarnych

Łatwo możemy wyprowadzić wzory na funkcje pierwotne niektórych funkcji elementarnych. W całym rozdziale zakładamy, że c ∈ ℝ.

Zaczniemy od funkcji f(x) = 0, czyli funkcji zerowej. Jaka funkcja po zróżniczkowaniu będzie równa zeru? Każda funkcja, która jest tylko stałą:

$$ \int 0 \mbox{ d}x = c $$

Dalej funkcja f(x) = 1. Wiemy, że $x^{\prime}=1$, więc całka z jedynki jest równa

$$ \int 1 \mbox{ d}x = x + c $$

Następna w kolejności jest funkcja f(x) = x. Jaką funkcję musimy zróżniczkować, żeby otrzymać jako wynik x? Jeśli zróżniczkujemy x², dostaniemy 2x. To już prawie to, czego chcieliśmy. Wystarczy podzielić przez dwa. Jeśli więc zróżniczkujemy (x²)/2, dostaniemy właśnie x.

$$ \int x \mbox{ d}x = \frac{x^2}{2}+c $$

Gdy uogólnimy to na funkcję xⁿ, gdzie n ∈ ℝ, dostaniemy wzór:

$$ \int x^n \mbox{ d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c $$

Zauważ, że ten wzór nie działa dla n = −1, bo dzielilibyśmy przez zero, a tego się nie robi, to nieładnie. Jeśli więc mamy n = −1, dostajemy funkcję f(x) = x⁻¹, czyli funkcję 1/x. Jaką funkcję musimy zróżniczkować, żeby otrzymać 1/x? Logarytm.

$$ \int \frac1x \mbox{ d}x=\ln x+c $$

Kłopot w tym, że logarytm jest określony tylko dla dodatnich liczb rzeczywistych, więc ten wzór nie działa dla wszystkich x z D(f). Działa jednak na przedziale (0, ∞). Na przedziale (−∞, 0) wystarczy zmienić znak argumentu logarytmu: ln −x. Gdy to połączymy, możemy zapisać

$$ \int \frac1x \mbox{ d}x=\ln |x|+c $$

Ten wzór działa dla wszystkich x ∈ D(f). Kolejne całki, na przykład funkcji trygonometrycznych, znajdziesz w poniższej tabeli:

$$\begin{eqnarray} \int a^x \mbox{ d}x &=& \frac{a^x}{\ln a}+c\quad\mbox{dla } a>0, a\ne1\\ \int \sin x \mbox{ d}x &=& -\cos x+c\\ \int \cos x \mbox{ d}x &=& \sin x +c \end{eqnarray}$$

Całka sumy

Obliczanie pochodnej jakiejś funkcji jest zwykle dość proste i — jak to się mówi — poradzi sobie z nim nawet wytresowana małpa, bo zwykle postępuje się po prostu według wzorów. Z całkami jest inaczej. Metody obliczania całek są wyraźnie bardziej skomplikowane, przez co znalezienie całki jest dużo trudniejszym zadaniem niż obliczenie pochodnej. Wynika to głównie stąd, że mamy wprawdzie prosty wzór na całkę sumy, ale już nie na całkę iloczynu.

Spróbujmy obliczyć taką całkę:

$$ \int x+1 \mbox{ d}x $$

Jak moglibyśmy to obliczyć? Potrzebujemy funkcji, która po zróżniczkowaniu da x, i drugiej funkcji, która da 1. Ze wzorów wiemy już, że są to funkcje (x²)/2 i x. Jeśli je dodamy, dostaniemy f(x) = (x²)/2 + x. Po zróżniczkowaniu tej funkcji dostaniemy x + 1. W ten sposób otrzymaliśmy wynik:

$$ \int x+1 \mbox{ d}x = \frac{x^2}{2} + x + c $$

Podczas obliczeń skorzystaliśmy z jednej własności — całka sumy jest równa sumie całek. Czyli

$$ \int f(x) + g(x) \mbox{ d}x = \int f(x) \mbox{ d}x + \int g(x) \mbox{ d}x $$

To samo dotyczy odejmowania:

$$ \int f(x) - g(x) \mbox{ d}x = \int f(x) \mbox{ d}x - \int g(x) \mbox{ d}x $$

Dlatego mogliśmy poprzedni przykład rozpisać tak:

$$ \int x+1 \mbox{ d}x = \int x \mbox{ d}x+\int 1 \mbox{ d}x $$

Wyłączanie stałej przed całkę

Podobne twierdzenie dotyczy wyłączania stałej przed całkę. Jeśli mamy całkę postaci:

$$ \int a\cdot f(x) \mbox{ d}x, $$

gdzie a jest jakąś stałą rzeczywistą, możemy tę stałą wyłączyć przed całkę:

$$ \int a\cdot f(x) \mbox{ d}x = a\cdot\int f(x) \mbox{ d}x $$

Przykład

Oblicz całkę:

$$ \int x^2+6x+42 \mbox{ d}x $$

W pierwszym kroku rozbijemy ją na trzy całki:

$$ \int x^2+6x+42 \mbox{ d}x = \int x^2 \mbox{ d}x+\int 6x \mbox{ d}x+\int 42 \mbox{ d}x $$

Całki będziemy obliczać po kolei. Pierwszą możemy obliczyć wprost ze wzoru na całkę potęgi xⁿ:

$$ \int x^2 \mbox{ d}x=\frac{x^3}{3}+c $$

W drugiej całce najpierw wyłączymy szóstkę:

$$ \int 6x \mbox{ d}x = 6\cdot\int x \mbox{ d}x $$

Całka z x to znowu całka tablicowa, jest równa (x²)/2. Dostajemy więc:

$$ 6\cdot\int x \mbox{ d}x = 6\cdot\left(\frac{x^2}{2}\right) = 3x^2+c $$

W ostatniej całce także najpierw wyłączymy 42:

$$ \int 42 \mbox{ d}x = 42\cdot\int 1 \mbox{ d}x $$

A to już znowu całka tablicowa:

$$ 42\cdot\int 1 \mbox{ d}x = 42x+c $$

Te cząstkowe całki dodamy i mamy wynik:

$$ \int x^2+6x+42 \mbox{ d}x = \frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c $$

Jeszcze jedna uwaga — w każdej cząstkowej całce dostaliśmy stałą c, więc przy dodawaniu powinniśmy w wyniku napisać +3c zamiast +c. Jednak c jest dowolną stałą rzeczywistą, więc 3c będzie znowu równe jakiejś liczbie rzeczywistej. Moglibyśmy zastąpić c w cząstkowych całkach przez c₁, c₂, c₃ i potem powiedzieć, że c = c₁ + c₂ + c₃.