Pochodna funkcji

Pochodna to podstawowe pojęcie rachunku różniczkowego. Odgrywa ważną rolę na przykład przy badaniu przebiegu zmienności funkcji. Z jednej strony uczniowie i studenci jej nienawidzą, z drugiej strony pochodną policzy nawet odpowiednio wytresowana małpa. W tym artykule opiszemy i wyjaśnimy tylko definicję pochodnej i pojęcia z nią związane. Rozwiązane przykłady znajdziesz w sąsiednich artykułach: proste przykłady na pochodne i trudniejsze przykłady. Procesem odwrotnym do różniczkowania jest całkowanie.

Czym jest pochodna

Zanim w ogóle dojdziemy do definicji pochodnej, powiemy sobie, co właściwie za jej pomocą obliczamy i do czego może nam się to później przydać.

Pochodna funkcji daje nam współczynnik kierunkowy stycznej. To chyba sporo trudnych słów naraz, więc od początku. Mówiąc prosto, styczna to prosta, która dotyka danego wykresu dokładnie w jednym punkcie. Nie jest to dokładna definicja, ale na razie nam wystarczy. Teraz przyjrzyj się następującemu rysunkowi:

Czarna krzywa to wykres funkcji y = x². Niebieska prosta to styczna do wykresu tej funkcji w punkcie D = (1,1), zaznaczonym na czerwono. Na zielono zaznaczony jest kąt α, który styczna tworzy z osią x — dokładniej z dodatnią półosią x. Teraz zdefiniujemy pojęcie współczynnika kierunkowego stycznej. Współczynnik kierunkowy stycznej to na tym rysunku tangens kąta alfa. Tangens (w Polsce oznaczany tg) to klasyczna funkcja trygonometryczna, dzięki której możemy na przykład obliczać kąty i długości boków w trójkącie. Współczynnik kierunkowy stycznej jest więc tangensem kąta, który dana styczna tworzy z dodatnią półosią x. I właśnie ten współczynnik kierunkowy otrzymujemy za pomocą pochodnych.

Rozróżniamy przy tym pojęcia pochodna funkcji w punkcie i pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie to właśnie współczynnik kierunkowy stycznej w danym punkcie. Pochodna funkcji to natomiast inna funkcja, która przypisuje współczynniki kierunkowe ogólnemu argumentowi x. Przykład za chwilę.

Motywacja

Za pomocą pochodnej potrafimy więc obliczać współczynniki kierunkowe stycznych. Do czego może się to przydać? Przyjrzyj się następującemu rysunkowi:

Na rysunku znów jest funkcja y = x² i cztery zaznaczone styczne: dwie zielone i dwie niebieskie. Zauważ, że funkcja y = x² jest w przedziale (−∞,0) malejąca, a w przedziale (0,∞) rosnąca. Co jednak zachodzi dla ich stycznych, a dokładniej dla kąta, który tworzą z dodatnią półosią? Niebieskie styczne, czyli styczne przechodzące przez punkty z przedziału, w którym funkcja rośnie, tworzą z osią kąt mniejszy niż 90 stopni. Natomiast zielone styczne tworzą z osią kąt większy niż 90 stopni. Jak przełoży się to na współczynniki kierunkowe stycznych?

Do tego musimy znać zachowanie funkcji tangens. Z następującego wykresu dowiemy się, że jeśli kąt ma miarę mniejszą niż 90 stopni, to wartość tangensa jest dodatnia (część zaznaczona na niebiesko); jeśli natomiast kąt jest większy niż 90 stopni, ale mniejszy niż 180 stopni (tzn. mniejszy niż pi radianów), to wartość tangensa jest ujemna. Jaki więc możemy wyciągnąć wniosek? Jeśli współczynnik kierunkowy stycznej (nie zapominaj, że współczynnik kierunkowy to właśnie tangens kąta) w danym punkcie jest dodatni, to funkcja jest w tym punkcie rosnąca, a jeśli jest ujemny, to jest malejąca.

Definicja

Zanim dojdziemy do samej definicji pochodnej, musimy przejść długą drogę. Będziemy do tego potrzebować granicy funkcji. Jeśli nie znasz granic, wróć do nich albo zajrzyj tylko do wzorów, dalszy wywód chyba nie będzie dla ciebie.

Zanim przejdziemy do współczynnika kierunkowego samej stycznej, zatrzymamy się przy współczynniku kierunkowym siecznej, co będzie prostsze. Sieczna to prosta, która przecina wykres w dwóch punktach. Spróbujemy teraz wyprowadzić, jak obliczylibyśmy ten współczynnik kierunkowy. Spójrz na rysunek:

Mamy tu wykres funkcji x² + 1 i sieczną s, która przecina wykres w dwóch punktach (0,5; 1,25) i (2, 5). Punkty te są zaznaczone na niebiesko. Ponieważ konkretne wartości nie będą nas specjalnie interesować, są one na wykresie zaznaczone ogólnie jako a i b oraz f(a) i f(b). Przy czym f(a) to wartość funkcji f w punkcie x = a. Zgadza się to: wartość naszej funkcji x² + 1 w punkcie x = 2 wynosi 2² + 1 = 5.

Chodzi teraz o to, żeby wyprowadzić, jak obliczyć kąt oznaczony jako alfa, tzn. kąt, który sieczna tworzy z osią x. Najpierw trochę zmienimy rysunek, żeby powstał na nim trójkąt, z którym będzie nam się lepiej pracować.

Co zrobiliśmy? Połączyliśmy odcinkiem punkty, w których sieczna przecinała się z wykresem funkcji y = x² + 1, i dorysowaliśmy je do trójkąta prostokątnego ABC. W czym nam to pomogło? Kąt oznaczony jako β ma bowiem taką samą miarę jak kąt α (to kąty odpowiadające). Przy tym znamy długości boków AB i BC. Zachodzi |AB| = b − a (to po prostu odległość punktu b od a). Podobnie długość |BC| = f(b)−f(a). Jak teraz obliczymy miarę kąta β, a więc i α?

Trzeba wiedzieć, jak oblicza się tangens. Tangens to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyprostokątnej przyległej, czyli tangens kąta alfa (beta) jest równy stosunkowi długości boku BC do długości boku AB. Zapiszmy to:

$$\mbox{tan}(\beta)=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Ponieważ współczynnik kierunkowy to tangens kąta, obliczyliśmy tym wzorem współczynnik kierunkowy siecznej. Jak nam to jednak pomoże, gdy chcemy obliczyć współczynnik kierunkowy stycznej? Wyobraź sobie, że będziemy zbliżać do siebie punkty A i C tak długo, aż się pokryją. Zbliżanie pokazuje rysunek:

Im bardziej zbliżamy górny punkt przecięcia do dolnego, tym bardziej sieczna przypomina styczną. Pierwotnej siecznej/prostej CA było do stycznej daleko. Gdy zbliżymy punkt C do punktu A, otrzymamy np. sieczną C₁A, która jest już bardziej podobna do stycznej. Sieczna C₂A jest jeszcze bardziej podobna itd.

Kiedy sieczna staje się styczną? W chwili, gdy oba punkty przecięcia się pokryją, tzn. gdy dla jakiegoś punktu C_n zachodziłoby C_n = A. Wtedy z siecznej mamy styczną, o co nam chodziło. Pytanie tylko, jak obliczyć współczynnik kierunkowy, bo nie możemy tak po prostu odjąć tych dwóch punktów, skoro są takie same:

$$\mbox{tan}(\beta)=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac00.$$

To nie zadziała, tak liczyć nie możemy. Nie bez powodu dane punkty tylko do siebie zbliżaliśmy. Będziemy bowiem potrzebować granicy. Chcemy teraz obliczyć współczynnik kierunkowy stycznej w danym punkcie (a, f(a)) i mamy do dyspozycji współczynniki kierunkowe wszystkich możliwych siecznych (te już umiemy obliczać). Będziemy więc kolejno obliczać współczynniki kierunkowe siecznych, które będziemy zbliżać tak, żeby powstała styczna. Będziemy więc zbliżać b do a. Nie możemy zbliżyć punktów tak, żeby były równe, ale możemy je zbliżać tak, żeby ich różnica dążyła do zera. Proszę bardzo, granica. Będziemy więc zbliżać b do a, aż w granicy będą sobie równe. Obliczymy więc granicę, gdy b dąży do a. To wszystko, wzór wygląda tak:

$$\mbox{tan}(\alpha)=\lim_{b\rightarrow a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Tę granicę nazywamy pochodną funkcji f(x) w punkcie x = a. Przypominam, że kąt α jest równy kątowi β. Zwykle nie używamy zmiennych a i b, tylko szukamy pochodnej w punkcie x₀ i zbliżamy się do niego punktem x. Możemy wtedy pisać:

$$\mbox{tan}(\alpha)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Na razie mamy, podobnie jak przy ciągłości funkcji, zdefiniowaną pochodną w jednym punkcie. Jeśli mamy funkcję f(x), która jest różniczkowalna w przedziale otwartym I, to wartości tej pochodnej określają funkcję $f^\prime(x)$, którą nazywamy pochodną funkcji.

Pochodną zapisujemy za pomocą znaku prim (kreski) w indeksie górnym, mniej więcej tak:

$$(x^2)^\prime=2x,\qquad f^\prime(x)=,\ldots,\qquad f^\prime(x_0)=,\ldots$$

Możesz się spotkać także z innym zapisem, za pomocą dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^\prime(x)$$

We wzorze, którego użyliśmy przed chwilą, możemy więc zamienić tangens na oznaczenie pochodnej:

$$f^\prime(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Możemy też zdefiniować pochodną jednostronną, prawostronną lub lewostronną, za pomocą granic jednostronnych. Tym się teraz nie będziemy zajmować, nie jest to aż tak ważne.

Nieco inna definicja

Inna definicja pochodnej funkcji w punkcie wygląda tak:

$$f^\prime(a)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Jak dojdziemy do takiej definicji? Wystarczy tylko trochę zmienić rysunek, z którego wychodziliśmy. Odległość punktu a od punktu b możemy bowiem wyrazić jako h = b − a. W takim razie możemy punkt b zapisać jako a + h, bo h to właśnie odległość b od a. Rysunek wyglądałby tak:

Na dole mamy punkty a i a + h, na osi y natomiast f(a) i f(a + h). Teraz znów utworzymy trójkąt i obliczymy tangens kąta beta. Tylko z tą różnicą, że długość boku AB mamy już obliczoną, to właśnie h.

Pochodna właściwa i niewłaściwa

Także pochodne bywają właściwe i niewłaściwe, podobnie jak granice funkcji. Co to oznacza? Pochodna jest właściwa, jeśli wartość pochodnej w punkcie jest równa jakiejś liczbie rzeczywistej. Pochodna jest niewłaściwa, jeśli jest równa plus lub minus nieskończoności. Jak to sobie wyobrazić geometrycznie? Kiedy współczynnik kierunkowy jest „nieskończony”? Zaczniemy od łatwiejszego pytania — jak wygląda styczna, której współczynnik kierunkowy jest równy jakiejś dużej liczbie? Z wykresu tangensa (zob. wyżej) widać, że jeśli wartość tangensa jest duża, to kąt zbliża się do 90 stopni (jeśli poruszamy się w przedziale (0, 180)).

Można by z tego wnioskować, że jeśli funkcja będzie miała w danym punkcie pochodną niewłaściwą, to styczna będzie tworzyć z osią x kąt prosty, będzie do niej prostopadła. I rzeczywiście tak jest. Jak mógłby wyglądać wykres takiej funkcji i w którym punkcie styczna byłaby prostopadła do osi x? Na przykład funkcja $y=\sqrt[3]{x}$:

Podstawowe własności

• Żeby funkcja miała w punkcie pochodną, musi być określona w jakimś otoczeniu o promieniu epsilon tego punktu. Gdyby takie otoczenie nie istniało, nie dałoby się obliczyć granic, za pomocą których pochodna jest zdefiniowana.

• Z jednoznaczności istnienia (lub nieistnienia) granic wynika, że jeśli w punkcie istnieje pochodna, to jest jedyna. Żadna funkcja nie ma w jednym punkcie kilku pochodnych. Albo jedną, albo żadnej.

• Podobnie jak przy granicach jednostronnych: jeśli funkcja ma w punkcie pochodną, to pochodna lewostronna i prawostronna muszą być sobie równe.

• Czasem potrzebujemy znać tzw. drugą pochodną. Nie jest to nic skomplikowanego, po prostu funkcję zróżniczkujemy raz, a potem wynik zróżniczkujemy jeszcze drugi raz. Oznaczamy to dwiema kreskami: f''(x) = (f'(x))'.

• Ważna własność: jeśli funkcja ma w punkcie pochodną, to jest w tym punkcie ciągła. Wynika to znów z własności granic. Uwaga, odwrotnie to nie działa. Jeśli funkcja jest ciągła w danym punkcie, nie oznacza to, że jest w nim różniczkowalna. Typowym przykładem jest funkcja f(x) = |x|. Wykres ma ostry wierzchołek, w tym wierzchołku nie da się obliczyć współczynnika kierunkowego stycznej. Możesz spróbować obliczyć pochodną lewostronną i prawostronną, wyjdą różne.

  

• Za pomocą pochodnych można obliczać także niektóre granice, służy do tego reguła de l’Hospitala.

Zobacz też

W sąsiednim artykule znajdziesz zestawienie wzorów do obliczania pochodnych.

Możesz też przejrzeć rozwiązane przykłady na pochodne, a potem ewentualnie trudniejsze przykłady na pochodne.

Jeśli potrzebujesz szybko sprawdzić obliczenie pochodnej, możesz użyć jakiegoś narzędzia matematycznego, na przykład Wolfram|Alpha. Wystarczy w tamtejszym polu wpisać „derive x^2+6x” (na przykład), a Wolfram obliczy pochodną zadanej funkcji.