Ciągi

Ciąg to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych. Ciąg może być albo nieskończony, jeśli jego dziedziną jest cały zbiór liczb naturalnych, albo skończony, jeśli jego dziedziną jest tylko skończony podzbiór liczb naturalnych. Jeśli nie powiemy wyraźnie, że chodzi o ciąg skończony, zakładamy, że ciąg jest nieskończony.

Definicja ciągu

Ten rozdział choć trochę tłumaczy, co oznacza definicja ciągu. Nie trzeba jej koniecznie znać, więc jeśli chcesz, możesz cały rozdział pominąć.

We wstępie zdradziliśmy już, że chodzi o funkcję, której dziedziną są liczby naturalne. Zbiorem wartości może być dowolny zbiór, ale tutaj będziemy zakładać, że jest to zbiór liczb rzeczywistych. Co to oznacza? Najbardziej widać to na wykresie: nie będzie to ciągła linia, jak to zwykle bywa u zwykłych funkcji, tylko rozrzucone, pojedyncze, izolowane punkty ciągu.

Ciągiem mogą być na przykład liczby 1, 3, 5, 7, 9, 11, … To dość jasno określony ciąg i chyba każdy wie, jak będzie dalej wyglądał. Ponieważ jest to funkcja, tabela przyporządkowania tego ciągu wyglądałaby tak:

$$\begin{eqnarray} 1&\rightarrow&1\\ 2&\rightarrow&3\\ 3&\rightarrow&5\\ 4&\rightarrow&7\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Liczby w pierwszej kolumnie (wartości z dziedziny) mówią więc, na którym miejscu w ciągu stoi dana liczba. Na przykład w naszym prostym ciągu liczba pięć stoi na trzecim miejscu. Dokładnie to mówi nam też tabela. Na czwartym miejscu w ciągu jest liczba siedem, na pierwszym jedynka i tak dalej. Wynika z tego również, że dziedziną ciągu skończonego p powinien być jakiś zbiór postaci

$$D(p)=\left\{1, 2, 3, \ldots, n\right\},$$

żeby rzeczywiście chodziło o kolejność i żadne miejsce nie zostało pominięte. Na przykład taki zbiór

$$D(p)=\left\{1{,}2,3{,}5,7\right\}$$

nie nadaje się na dziedzinę ciągu, bo brakuje w nim czwartego i szóstego elementu.

Ciąg wyraża więc to, że jego wyrazy da się jakoś uporządkować: każdy wyraz ciągu, oprócz pierwszego i ostatniego, ma swojego poprzednika i swojego następnika. To ogromna różnica w porównaniu z funkcjami rzeczywistymi, gdzie nic takiego nie zachodzi. Gdybyśmy wzięli funkcję f(x) = 2x, to jaka wartość następuje po f(5/2)? Nie wiadomo, wynikiem jest liczba rzeczywista, a liczby rzeczywiste nie mają następnika.

Zapis ciągu

Wiemy już, że – w uproszczeniu – ciąg to ponumerowana lista liczb. Teraz zobaczmy, jak można ciąg zapisywać. Sam ciąg zwykle nazywamy małą literą z dolnym indeksem, na przykład a_i.

Pierwszym sposobem jest wypisanie wszystkich wartości ciągu. Z tym spotkaliśmy się już w poprzednim rozdziale. Wyliczenie może być skończone albo nieskończone:

$$\begin{eqnarray} a_k&=&(1{,}2,3{,}4,5)\\ a_n&=&(2{,}4,6{,}8,10,\ldots) \end{eqnarray}$$

Uwaga: nie jestem pewien, jakie nawiasy zwykle stosuje się do ciągów, nie znalazłem jednolitej konwencji. Raczej nie używałbym nawiasów klamrowych, bo te oznaczają zbiory, w których kolejność nie ma znaczenia, podczas gdy w ciągach kolejność wyrazów ma znaczenie.

Drugą możliwością jest wzór na n-ty wyraz ciągu. Na przykład ciąg a_n zawierał wszystkie liczby parzyste. Moglibyśmy go zapisać takim wzorem:

$$a_n=2n.$$

Dolny indeks n mówi nam, który wyraz ciągu właśnie obliczamy. Jeśli więc chcemy znać pierwszy wyraz, szukamy wyrazu a₁, jeśli siódmy, to a₇. Siódmy wyraz obliczymy, podstawiając do wzoru.

$$a_7=2\cdot7=14$$

Taki zapis jest wygodny, bo pozwala od razu obliczyć dowolny wyraz ciągu. Kolejną możliwością jest zapis za pomocą definicji rekurencyjnej. Definicja rekurencyjna pozwala obliczyć następny wyraz, jeśli znamy obecny. Innymi słowy, jeśli znamy wyraz a_n, pozwala nam obliczyć wyraz a_{n + 1}.

Jeśli chcemy określić ciąg rekurencyjnie, musimy podać dwie informacje: jaki jest pierwszy wyraz i wzór na obliczenie (n + 1)-szego wyrazu. Gdybyśmy chcieli określić rekurencyjnie ciąg parzystych liczb naturalnych, moglibyśmy to zrobić tak:

$$a_1=2;\quad a_{n+1}=a_n+2$$

Jak teraz liczyć? Wiemy, że a₁ jest równe dwa. Teraz za n podstawiamy jedynkę, a więc a₂ obliczymy, dodając do a₁ dwójkę. Dostajemy cztery, drugą liczbę parzystą. I tak dalej.

$$\begin{eqnarray} a_1&=&2\\ a_2&=&a_1+2\quad(=4)\\ a_3&=&a_2+2\quad(=6)\\ a_4&=&a_3+2\quad(=8)\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Zapis za pomocą definicji rekurencyjnej przydaje się wtedy, gdy potrzebujemy wygenerować jakąś większą część ciągu. Nie nadaje się natomiast, gdy chcemy obliczyć jakiś konkretny wyraz, bo żeby obliczyć setną liczbę parzystą, musimy najpierw obliczyć wszystkie 99 liczb parzystych, które ją poprzedzają.

Ostatnią możliwością jest określenie ciągu za pomocą wykresu.

Jeszcze dla jasności: ciąg nie musi mieć koniecznie jakiegoś prostego wzoru, nie musi to być „rozsądny” układ liczb. Również taki zestaw liczb jest ciągiem, chociaż na pierwszy rzut oka nie ma żadnego głębszego sensu:

$$a_i=(-5, \frac73, \pi, \pi, \pi, 13, 10^6+54, \log_354, 0)$$

Wykres ciągu

Ciągi mają inne wykresy niż zwykłe funkcje rzeczywiste. Ponieważ ich dziedziną są liczby naturalne, ich wykres składa się z izolowanych punktów.

Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny to prosty ciąg, w którym między kolejnymi wyrazami jest stała różnica. Każdy następny wyraz jest na przykład o trzy większy albo o siedemnaście mniejszy. Liczbę, o którą różnią się kolejne wyrazy ciągu, nazywamy różnicą ciągu (oznaczamy d). W pierwszym przypadku różnica wynosiłaby trzy, w drugim minus siedemnaście, a w przypadku ciągu liczb parzystych wynosiłaby dwa. Wzorem można więc ciąg arytmetyczny zapisać tak:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

Ogólny wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Weźmy dla przykładu znowu liczby parzyste, gdzie różnica wynosi dwa i pierwsza liczba parzysta to też dwójka. Drugą liczbę parzystą dostaniemy, dodając do pierwszej dwójkę. Jeśli dodamy dwójkę jeszcze raz, dostaniemy trzecią liczbę parzystą.

$$\begin{eqnarray} a_1&=&2\\ a_2&=&a_1+2\quad(=4)\\ a_3&=&a_2+2\quad(=6)\\ a_4&=&a_3+2\quad(=8)\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Gdybyśmy chcieli obliczyć na przykład siódmą liczbę parzystą, podstawilibyśmy do ogólnego wzoru tak:

$$a_n=a_1+(n-1)d\rightarrow a_7=2+(7-1)\cdot2=2+12=14$$

Jak sprawdzić, czy dany ciąg jest arytmetyczny? Odejmujemy wzór na n-ty wyraz od wzoru na (n + 1)-szy wyraz i jeśli wyjdzie nam stała liczba, czyli różnica ciągu, ciąg jest arytmetyczny. Weźmy na przykład ciąg

$$a_n=2n+7.$$

Czy ten ciąg jest arytmetyczny? Zaczniemy od tego, że zapiszemy (n + 1)-szy wyraz:

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Teraz odejmiemy od siebie te dwa wyrażenia:

$$\begin{eqnarray} d&=&(2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d&=&2n+2+7-2n-7\\ d&=&2n-2n+7-7+2\\ d&=&2 \end{eqnarray}$$

Widzimy, że po odjęciu dostaliśmy d = 2, więc jest to ciąg arytmetyczny o różnicy dwa.

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Często potrzebujemy znać sumę kilku pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego. Jak to zrobić? Intuicyjnie mniej więcej tak. Zostańmy przy liczbach parzystych. Ile wynosi suma pierwszych trzech liczb parzystych? Czyli liczb 2, 4 i 6. Oczywiście możemy je po kolei dodać, ale nie o to nam chodzi, chcemy wzór.

Przekształćmy ciąg tak: do pierwszego wyrazu dodajmy dwa, a od ostatniego dwójkę odejmijmy. Dostaniemy 4, 4, 4. Widzimy, że mamy trzy jednakowe liczby, więc wystarczy pomnożyć czwórkę przez liczbę wyrazów, czyli przez trójkę. Czyli 4 · 3 = 12.

Przy pięciu wyrazach wyglądałoby to tak: 2, 4, 6, 8, 10. Do skrajnych wyrazów dodajemy i od nich odejmujemy czwórkę, do przedostatnich dwójkę.

$$\begin{eqnarray} a_i&=&(2+4), (4+2), 6, (8-2), (10-4)\\ a_i&=&6{,}6,6{,}6,6 \end{eqnarray}$$

Znowu wystarczy już tylko pomnożyć 6 · 5 = 30. Co widzimy? Zawsze mnożymy liczbę wyrazów ciągu przez środkowy wyraz ciągu. W ciągu 2, 4, 6 w środku była czwórka, a w ciągu 2, 4, 6, 8, 10 w środku była 6. Jak ogólnie obliczyć środkowy wyraz (oznaczmy go p)? Obliczymy go jako średnią arytmetyczną pierwszego i ostatniego wyrazu ciągu, czyli

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

Na przykład dla tego drugiego ciągu

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

Ostateczny wzór na sumę pierwszych q wyrazów ciągu a_n wyglądałby tak:

$$S_q=q\cdot\frac{a_1+a_q}{2}$$

Wzór działa też dla parzystej liczby wyrazów, chociaż w wyprowadzeniu używaliśmy tylko nieparzystej liczby wyrazów.

Jak obliczyć różnicę ciągu

Jak obliczyć różnicę, jeśli znasz dwa wyrazy ciągu? Zostańmy przy liczbach parzystych. Powiedzmy, że znamy te dwa wyrazy ciągu:

$$a_3=6,\quad a_7=14.$$

Jak obliczymy różnicę? Najpierw obliczymy, o ile różnią się te dwa wyrazy:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Teraz wystarczy ten wynik podzielić przez liczbę kroków między dwoma wyrazami, które znamy, czyli przez różnicę ich indeksów:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Różnica wynosi dwa. Ostateczny wzór na obliczenie różnicy d, jeśli znamy wyrazy ciągu a_k i a_l:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

Wykres ciągu arytmetycznego pokazuje stały wzrost albo stały spadek – izolowane punkty wykresu leżą na jednej prostej.

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny różni się od poprzedniego arytmetycznego tym, że dwa sąsiednie wyrazy nie mają stałej różnicy, tylko stały iloraz. Nie nazywamy go wtedy różnicą jak w przypadku ciągu arytmetycznego, tylko ilorazem ciągu (oznaczamy go q). Moglibyśmy na przykład mieć ciąg, w którym q = 10, a pierwszy wyraz wynosi 5:

$$\begin{eqnarray} a_1&=&5\\ a_2&=&a_1\cdot10\quad(=50)\\ a_3&=&a_2\cdot10\quad(=500)\\ a_4&=&a_3\cdot10\quad(=5000)\\ \end{eqnarray}$$

Ogólnie zachodzi więc wzór:

$$a_{n+1}=a_n\cdot q$$

Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego wyglądałby tak:

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Na przykład trzeci wyraz poprzedniego ciągu obliczylibyśmy tak:

$$\begin{eqnarray} a_3&=&a_1\cdot q^{3-1}\\ a_3&=&5\cdot q^2\\ a_3&=&5\cdot10^2\\ a_3&=&500 \end{eqnarray}$$

Ciągi geometryczne możemy jeszcze podzielić na dwie grupy, mianowicie według tego, jaki mają iloraz. Jeśli wartość bezwzględna ilorazu będzie mniejsza od jedynki, cały ciąg będzie zmierzał do zera. Taki ciąg nazywamy więc zbieżnym. Jeśli natomiast wartość bezwzględna ilorazu będzie większa od jedynki, ciąg będzie pędził do nieskończoności i nazywamy go ciągiem rozbieżnym. Dla ciągu zbieżnego zachodzi prosty wzór na sumę całego szeregu (zachodzi tylko dla zbieżnego, bo rozbieżny zmierza do nieskończoności, więc jego suma jest nieskończona):

$$S_a=\frac{a_1}{1-q}.$$

Wzór na sumę pierwszych i wyrazów ciągu geometrycznego a_n:

$$S_i=a_1\cdot\frac{q^i-1}{q-1}$$

Wykresem ciągu geometrycznego, oprócz przypadku, gdy iloraz jest równy jeden albo zero, jest zbiór izolowanych punktów, które nie leżą na jednej prostej. Typowy wykres ciągu geometrycznego wygląda tak:

Jeśli iloraz będzie ujemny, wykres będzie miał dwie gałęzie: