Granica ciągu

Granica ciągu to liczba, do której dany ciąg zbliża się w nieskończoności. Granica ciągu jest też czymś w rodzaju wstępu do granicy funkcji, która ma ogromne znaczenie w analizie matematycznej.

Krótkie wprowadzenie do granic

Granica ciągu to liczba, do której jakiś dany ciąg liczb nieustannie się zbliża (ewentualnie w końcu ją nawet osiąga). Najlepiej pokaże to rysunek, na którym jest ciąg określony wzorem $a_n=\frac1n$:

Na rysunku widzimy, że wyrazy ciągu coraz bardziej zbliżają się do zera. Im większe n, tym mniejsza wartość a_n i tym bliżej jest do zera. Wykres nigdy nie dotknie osi poziomej, bo nigdy nie będzie zachodzić równanie 1/n = 0 (gdzie n jest liczbą naturalną). Mimo to warto ustalić, do jakiej liczby cały ciąg się zbliża. Pytanie może więc brzmieć tak: jeśli będziemy n ciągle zwiększać, do jakiej liczby będą się zbliżać wartości ciągu? Jeśli n będzie dążyć do nieskończoności, jaką wartość będzie miał wyraz ciągu? Dokładnie tym zajmują się granice. Granicę zapisujemy symbolem lim. W dolnym indeksie piszemy, do jakiej liczby dąży n; w przypadku ciągów będzie to zawsze nieskończoność. Cały zapis może wyglądać na przykład tak:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0.$$

Czytamy: „Granica ciągu jeden przez n przy n dążącym do nieskończoności jest równa zero”. Kilka kolejnych banalnych przykładów: Ile wynosi granica ciągu a_n = n? To prosty ciąg, w którym a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 itd. Do jakiej liczby będą się zbliżać wyrazy ciągu w nieskończoności? Im większe n, tym większe a_n, więc granicą będzie nieskończoność.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}n=\infty$$

Pewnie intuicyjnie wyczuwasz, że granicą ciągu a_n = n² również będzie nieskończoność. Ten ciąg będzie rósł jeszcze szybciej niż poprzedni. Z kolei ciąg $a_n=\frac{1}{2n}$ będzie zmierzał do zera jeszcze szybciej niż pierwszy przykładowy ciąg.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}n^2=\infty,\quad\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2n}=0$$

Definicja granicy właściwej ciągu

Czas porządnie zdefiniować granicę ciągu.

Ciąg $\left\{a_n\in\mathbb{R}\right\}_{n=1}^\infty$ ma granicę właściwą a (jest zbieżny do granicy a ∈ ℝ, jest zbieżny), jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje n₀∈ℕ takie, że dla wszystkich n>n₀ zachodzi |a_n − a| < ε.

Stosuje się takie zapisy:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$$

$$a_n\rightarrow a\mbox{ przy } n\rightarrow\infty$$

$$\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty\rightarrow a$$

Definicja jest ładna, teraz ją sobie wytłumaczmy. Do tego będzie nam potrzebny rysunek jakiegoś ciągu, więc wybierzmy na przykład taki ciąg:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

I jego wykres:

Z wykresu ładnie widać, że ciąg jest zbieżny do piątki, czyli że granica tego ciągu wynosi pięć. Zanim zacznę na tym ciągu pokazywać definicję granicy, dodam jeszcze do wykresu trochę kolorów:

Wiemy już, że granica tego ciągu wynosi pięć. W pierwszej części definicji jest mowa o ε>0, czyli o jakimś epsilonie, który jest większy od zera. Epsilon oznacza tutaj otoczenie granicy, otoczenie punktu. Jest większy od zera, bo otoczenie nie może być ujemne ani zerowe. Na rysunku to otoczenie jest zaznaczone pionowymi zielonymi kreskami na osi y. Punktem jest tu wartość pięć, a otoczeniem punktu są te zielone kreski na osi y. Otoczenie jako takie rozciąga się w obu kierunkach, w górę i w dół. Ten wyobrażony pas ograniczony zielonymi poziomymi liniami będzie nam teraz potrzebny. Na rysunku ε = 1.

Naszym celem jest znaleźć na dolnej, poziomej osi taką liczbę n₀, która podzieli dolną oś na dwie części. Przy czym musi zachodzić, że wszystkie wyrazy ciągu na prawo od tej liczby n₀ leżą w tym zielonym pasie. Gdzie leżą wyrazy na lewo od n₀, nie ma znaczenia; nie musimy szukać najmniejszego n₀, dla którego definicja zachodzi. Na rysunku n₀ = 12.

Co właściwie oznacza, że wyraz ciągu leży w zielonym pasie? To, że jego odległość od granicy (w tym przypadku od liczby pięć) wynosi co najwyżej epsilon. I dokładnie to mówi definicja: |a_n − a|<ε. Przypominam, że a oznacza granicę, w naszym przypadku więc a = 5. Obliczmy wartość piętnastego wyrazu:

$$a_{15}=\frac{5\cdot15}{15+1}=4{,}6875$$

Teraz podstawiamy do nierówności |a_n − a|<ε:

$$\begin{eqnarray} \left|a_n-a\right|&<&\epsilon\\ \left|4{,}6875-5\right|&<&1\\ 0{,}3125&<&1 \end{eqnarray}$$

Widzimy, że nierówność zachodzi. Ten punkt spełnia definicję. Liczba 0,3125 wyraża odległość między piętnastym wyrazem ciągu a granicą ciągu. Na rysunku ta odległość jest zaznaczona krótkim fioletowym odcinkiem. Gdybyśmy w ten sposób sprawdzili wszystkie liczby większe od n₀, przekonalibyśmy się, że ta nierówność zawsze zachodzi. Liczba a = 5 spełnia więc definicję granicy tego ciągu.

W definicji jest jednak jedna ważna rzecz. Mówi ona, że dla każdego ε>0 potrafimy znaleźć tę liczbę n₀. Czyli dla dowolnie dużego epsilona, ale przede wszystkim dla dowolnie małego epsilona. Choćbyśmy zmniejszyli epsilon do nie wiadomo jak małej (ale wciąż dodatniej) liczby, i tak musimy umieć znaleźć n₀.

Spróbujmy więc zmniejszyć epsilon do jakiejś mniejszej wartości. Co się stanie? Zmniejszy się zielony pas, w którym musimy się zmieścić. To nam jednak wcale nie przeszkadza, po prostu zwiększymy wartość n₀ – przesuniemy je w prawo. Zmniejszenie i przesunięcie pokazuje następny rysunek:

To przesunięcie ładnie pokazuje, jak zachowuje się granica. Od granicy oczekujemy, że wyrazy ciągu będą się do niej stopniowo zbliżać, że ich odległość od granicy będzie się nieustannie zmniejszać. (Odległość od granicy to to, co przed chwilą liczyliśmy, ta fioletowa kreska na rysunku). Jeśli odległość nieustannie się zmniejsza i wyrazy zbliżają się do granicy, kiedyś muszą dojść do stanu, w którym będą bliżej granicy niż epsilon. I tak znaleźliśmy naszą wartość n₀. Jeśli z kolei wybierzemy większy epsilon, możemy wybrać mniejsze n₀:

Na początku wspomniałem, że ciąg nieustannie zbliża się do swojej granicy, ale nigdy jej nie dotknie. Ciąg może jednak swojej granicy dotknąć, może nawet przyjmować wartość równą granicy nieskończenie wiele razy. Na przykład ciąg stały a_n = 1 będzie miał w każdym punkcie wartość jeden i jego granicą też będzie jeden.

Pokaz nieistnienia granicy

Spróbujmy zmienić określenie ciągu tak, żeby pasowało do następującego wykresu (sam wzór nie jest w tej chwili istotny):

Ciąg zachowuje się tak samo jak w poprzednim przypadku, z wyjątkiem dziesiątego, dwudziestego, trzydziestego itd. wyrazu ciągu (załóżmy, że te wyrazy są zawsze równe 3,5 – ani nie rosną, ani nie maleją). Te wyrazy jakby wypadają z rytmu. Na rysunku zaznaczyłem dwa otoczenia, epsilon jeden i dwa. Jak widać, dla ε₂ (tego większego otoczenia) potrafimy znaleźć takie n₀, żeby wszystkie dalsze wyrazy leżały w zielonym pasie. Ale kiedy zmniejszymy epsilon do ε₁, takiego n₀ już nie znajdziemy – co dziesiąty wyraz będzie poza tym otoczeniem. Ten ciąg nie miałby granicy równej pięć (i nie ma też żadnej innej granicy).

Przykłady innych granic

Przykładem ciągu, który nie ma żadnej granicy, jest a_n = sin n, pokazany na następnym rysunku:

Widzimy, że ciąg nie jest zbieżny do żadnej liczby, wyrazy ciągu raz maleją, raz rosną. Taki ciąg nazywamy rozbieżnym.

Na razie pokazaliśmy ciągi zbieżne, które zbliżały się do swojej granicy z jednej strony. Ciąg może się jednak zbliżać do granicy z obu stron, jak pokazuje ten ciąg

$$a_n=(-1)^n\cdot\frac{1}{n}$$

Również ten ciąg będzie zbieżny do zera.

Granica niewłaściwa

Na razie mówiliśmy o granicy właściwej, czyli o przypadku, kiedy ciąg zbliża się do jakiejś liczby rzeczywistej. A co z takim ciągiem a_n = n? Do jakiej liczby rzeczywistej się zbliża? Przyjrzyj się wykresowi:

Najwyraźniej nie zbliża się do żadnej liczby rzeczywistej, tylko rośnie nieograniczenie, rośnie do nieskończoności. Taki ciąg ma więc granicę równą nieskończoności (jest rozbieżny do nieskończoności) i o takiej granicy mówimy, że jest niewłaściwa. Definicja granicy niewłaściwej jest prosta. Co znaczy, że ciąg rośnie do nieskończoności? Że jeśli wybierzemy sobie jakąś liczbę rzeczywistą A, dowolnie dużą, to zawsze znajdziemy taki indeks n₀, że wszystkie wyrazy ciągu, które leżą za tym wyrazem, są większe od tej liczby A. Krótko mówiąc: jeśli wybierzemy próg A, to od pewnego miejsca ciągu wszystkie wyrazy są większe od tego A. Zapisane matematycznie:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty\Leftrightarrow\forall A\in\mathbb{R}\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n\in\mathbb{N}: n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

Na początku mamy „dla wszystkich A”, czyli dla wszystkich progów, jakie chcielibyśmy wybrać. Potem mamy kwantyfikator egzystencjalny, który mówi, że musi istnieć indeks n₀, dla którego zachodzi: jeśli n jest większe od tego n₀, to wartość wyrazu a_n jest większa od progu, który wybraliśmy na początku, czyli od A. Podobna definicja będzie dla granicy niewłaściwej w minus nieskończoności.

Metody obliczania granic

Znamy już kilka podstawowych sposobów obliczania granicy ciągu. Różne odmiany ciągu a_n = n, na przykład

$$a_n=2n,\quad a_n=\frac{n}{2}$$

mają granicę równą plus nieskończoności. Z kolei ciągi typu

$$a_n=\frac{1}{n},\quad a_n=\frac{15}{4n}$$

mają granicę równą zero. Teraz podamy kilka podstawowych wzorów do liczenia z ciągami. Załóżmy, że zachodzi

$$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=a,\quad\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=b,\quad a,b\in\mathbb{R}.$$

Wtedy zachodzą też takie wzory:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(c_1a_n+c_2b_n)=c_1a+c_2b\quad\forall c_1,c_2\in\mathbb{R}$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=a\cdot b;\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}; b\ne 0.$$

Pierwszy wzór moglibyśmy wykorzystać w takim przykładzie:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n}+5)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}+\lim_{n\rightarrow\infty}5=0+5=5$$

A co, jeśli mamy taki przykład?

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+1}{2n}$$

Tu pojawia się problem, bo wyrażenie w liczniku dąży w nieskończoności do nieskończoności i wyrażenie w mianowniku też dąży do nieskończoności. A jeśli mamy w liczniku i w mianowniku nieskończoność, dostajemy tak zwany symbol nieoznaczony. Po prostu nie potrafimy ustalić, ile wynosi takie wyrażenie:

$$\frac{\infty}{\infty}$$

Naszym zadaniem będzie przekształcić wyrażenie tak, żeby ten symbol nieoznaczony nie powstał. Jeśli uda nam się usunąć z mianownika albo z licznika zmienną n, możemy już dostać wyrażenie, w którym będzie tylko jedna nieskończoność.

Najpierw przekształcimy wyrażenie tak, że każdy składnik podzielimy przez zmienną n, czyli rozszerzymy ułamek przez 1/n.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+1}{2n}=\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{3n+1}{2n}\cdot\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Widzimy, że w mianowniku nie ma już zmiennej n, więc wyrażenie w mianowniku nie dąży w nieskończoności do nieskończoności. Według poprzednich wzorów możemy całą granicę rozłożyć na kilka mniejszych: osobno obliczymy granice wszystkich wyrażeń, a wyniki dodamy i podzielimy.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}3+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}2}$$

Doszliśmy więc do sytuacji, w której potrafimy już obliczyć wszystkie granice. Zróbmy to.

$$\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}3+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Granicą tego ciągu jest liczba 1,5.

Spróbujmy kolejny przykład:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Tutaj możemy albo zastosować ten sam sposób co poprzednio, albo spróbować pomyśleć logicznie. Funkcja n² będzie ciągnąć ciąg w górę dużo szybciej, niż funkcja n będzie go ściągać w dół. Funkcja n² jest dużo silniejsza, więc całe wyrażenie będzie miało granicę równą nieskończoności. Spróbujmy to też obliczyć. Znowu każde wyrażenie dzielimy przez n:

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{2n}&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ &=&\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}3n+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}2}\\ &=&\frac{\infty+0}{2}=\infty \end{eqnarray}$$

Jeszcze kilka słów o tym, dlaczego dzieliliśmy przez n, a nie na przykład przez n², które też występuje w wyrażeniu. Naszym celem, jak wiemy, jest pozbyć się jakiejś zmiennej. Wiemy jednak, że wartość mianownika nie może być zerem, bo znowu dostalibyśmy symbol nieoznaczony. Licznik i mianownik będziemy więc dzielić przez takie wyrażenie, żeby w mianowniku nie powstało zero. W tym przypadku oznaczało to podzielić licznik i mianownik przez najwyższą potęgę n występującą w mianowniku.

Możemy więc powiedzieć, że granica będzie się kierować funkcją, która rośnie znacznie szybciej (jest wyższego rzędu). Uważaj jednak na znaki, nawet przy liczeniu z nieskończonością musimy zachować znak:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{-2n}=\ldots=\frac{\infty+0}{-2}=-\infty$$