Trudniejsze przykłady na pochodne

Kilka przykładów na pochodne trudniejsze niż podstawowa praca ze wzorami. Jeśli potrzebujesz wyjaśnienia definicji pochodnej, przejdź do artykułu pochodna funkcji.

Przykład pierwszy

Zaczniemy od czegoś jeszcze niezbyt trudnego.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Ze wzorów na pochodne wiemy, że pochodna funkcji e^x to znów e^x. Niestety tego prostego sposobu nie możemy w tym przykładzie zastosować całkiem bezpośrednio, bo w wykładniku nie ma samego x, tylko −x, więc musimy daną funkcję traktować jako funkcję złożoną. W pierwszym kroku i tak czeka nas jednak rozpisanie według wzoru na pochodną iloczynu.

$$f^\prime(x)=(x^3)^\prime\cdot e^{-x}+x^3\cdot(e^{-x})^\prime=$$

Lewy wielomian różniczkujemy za pomocą klasycznego wzoru, resztę zostawiamy bez zmian:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot(e^{-x})^\prime=$$

Teraz musimy zróżniczkować ostatnią funkcję. Jak już mówiliśmy, to funkcja złożona, więc musimy ją różniczkować według reguły dla funkcji złożonych:

$$\begin{eqnarray} f(x)&=&h(g(x))\\ f^\prime(x)&=&h^\prime (g(x))\cdot g^\prime(x) \end{eqnarray}$$

Pochodna naszej funkcji wyglądałaby więc tak:

$$(e^{-x})^\prime=e^{-x}\cdot(-x)^\prime=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}$$

Wyrażenie e^−x pozostaje bez zmian, bo pochodna e^x to znów e^x, a w pierwszym kroku wzoru różniczkujemy funkcję zewnętrzną, a funkcję wewnętrzną zostawiamy niezróżniczkowaną. W drugim kroku mnożymy nasz wynik cząstkowy przez pochodną argumentu funkcji, czyli funkcji −x. Pochodną funkcji −x jest −1. Teraz już tylko podstawiamy nasz wynik do poprzedniego wyrażenia:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot(e^{-x})^\prime=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Przykład drugi

Treść drugiego przykładu (w Polsce tangens zapisuje się tg):

$$f(x)=\frac{\ln(\cos x)}{\operatorname{tg} x}$$

Mamy tu ułamek, w liczniku jest jedna funkcja, a w mianowniku inna. W pierwszym kroku będziemy więc różniczkować według wzoru na pochodną ilorazu. Po zastosowaniu wzoru otrzymujemy:

$$\frac{(\ln(\cos x))^\prime\cdot\operatorname{tg} x-\ln(\cos x)\cdot(\operatorname{tg} x)^\prime}{\operatorname{tg}^2 x}$$

Weźmiemy się do tego od końca i najpierw zróżniczkujemy tangens, bo możemy go zróżniczkować łatwo według podstawowego wzoru. Zachodzi

$$(\operatorname{tg} x)^\prime=\frac{1}{\cos^2x}.$$

Po zastosowaniu tego wzoru w liczniku ułamka dostajemy

$$\frac{(\ln(\cos x))^\prime\cdot\operatorname{tg} x-\ln(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{\operatorname{tg}^2 x}$$

Teraz musimy zróżniczkować logarytm. Niestety wewnątrz logarytmu mamy kolejną funkcję, więc dostajemy funkcję złożoną i logarytm musimy różniczkować w bardziej skomplikowany sposób, właśnie jako funkcję złożoną. Pochodna samego logarytmu to 1/x, przy czym za x podstawiamy argument logarytmu, czyli cosinus. Dalej musimy jeszcze pomnożyć przez pochodną argumentu, czyli przez pochodną cosinusa. Pochodna logarytmu będzie więc wyglądać tak:

$$(\ln(\cos x))^\prime=\frac{1}{\cos x}\cdot(\cos x)^\prime=-\frac{1}{\cos x}\cdot\sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Dostaliśmy całkiem ładny ułamek. Jeśli dobrze pamiętasz trygonometrię, to wiesz, że ten ułamek jest równy tangensowi. Możemy więc napisać, że całość jest równa minus tangens:

$$(\ln(\cos x))^\prime=-\operatorname{tg} x$$

Podstawiamy to więc do poprzedniego wyniku:

$$=\frac{(\ln(\cos x))^\prime\cdot\operatorname{tg} x-\ln(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{\operatorname{tg}^2 x}=\frac{-\operatorname{tg} x\cdot\operatorname{tg} x-\ln(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{\operatorname{tg}^2 x}=$$

W liczniku mamy dwa razy tangens, więc możemy go po prostu podnieść do kwadratu. Logarytm możemy przenieść do licznika następnego ułamka.

$$=\frac{-\operatorname{tg}^2 x-\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x}}{\operatorname{tg}^2 x}=$$

Teraz możemy rozdzielić licznik i dostać dwa ułamki

$$=-\frac{\operatorname{tg}^2x}{\operatorname{tg}^2x}-\frac{\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x}}{\operatorname{tg}^2x}=$$

W pierwszym ułamku licznik jest równy mianownikowi, więc dostajemy jedynkę. W drugim ułamku możemy pozbyć się ułamka w liczniku, rozszerzając ułamek przez wyrażenie cos²x.

$$=-1-\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x\cdot\operatorname{tg}^2x}=$$

Tangens możemy teraz rozpisać jako iloraz sin(x)/cos(x). Ponieważ jednak mamy tangens do kwadratu, dostaniemy także w ułamku licznik i mianownik do kwadratu. Potem możemy od razu skrócić cos²x.

$$=-1-\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}=-\frac{\ln(\cos x)}{\sin^2x}-1.$$

To jest ostateczny wynik.

Przykład trzeci

Oblicz pochodną funkcji

$$f(x)=x^{(x^{\frac12})}.$$

Jeśli nie widać tego wyraźnie — to wszystko są wykładniki, czyli „x do potęgi x do potęgi jednej drugiej”. W pierwszym kroku najpierw przekształcimy funkcję według wzoru:

$$x=e^{\ln x}$$

Za pomocą tego wzoru rozpiszemy pierwsze x w naszym przykładzie:

$$f(x)=(e^{\ln x})^{x^{\frac12}}$$

Teraz zastosujemy jeden ze wzorów działań na potęgach:

$$(a^b)^c=a^{b\cdot c}$$

Usuwamy nawiasy, a najwyższy wykładnik zapisujemy w iloczynie z logarytmem:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac12}}$$

Teraz mamy już funkcję w postaci, w której łatwiej będzie nam ją różniczkować. Jest to funkcja złożona i jako taką będziemy ją różniczkować. Pierwszą funkcją jest e^x, gdzie za x podstawiamy cały wykładnik, a druga funkcja jest w wykładniku. Po rozpisaniu dostajemy więc:

$$f^\prime(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac12}}\cdot(\ln x\cdot x^{\frac12})^\prime$$

Nawias będziemy różniczkować jako iloczyn, więc stosujemy wzór na pochodną iloczynu.

$$(\ln x\cdot x^{\frac12})^\prime=(\ln x)^\prime\cdot x^{\frac12} + \ln x\cdot (x^{\frac12})^\prime=$$

Pochodna logarytmu to 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac12} + \ln x\cdot (x^{\frac12})^\prime=$$

Teraz zróżniczkujemy drugie wyrażenie według klasycznego wzoru na pochodną funkcji potęgowej. Zachodzi więc:

$$\left(x^{\frac12}\right)^\prime=\frac12x^{\frac12-1}=\frac12x^{-\frac12}=\frac{x^{-\frac12}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac12}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Podstawiamy ten wynik do naszego obliczenia:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac12} + \ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Możemy jeszcze przekształcić pierwszy iloczyn, znów za pomocą wzorów na działania na potęgach:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac12}=x^{-1}\cdot x^{\frac12}=x^{-1+\frac12}=x^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Przepisujemy poprzednie wyrażenie za pomocą obliczenia, które właśnie zrobiliśmy:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

I na koniec przenosimy logarytm do licznika ułamka:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Pierwszy ułamek możemy rozszerzyć przez dwa, a potem ułamki dodać:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Teraz możemy już wrócić do całej pochodnej:

$$f^\prime(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac12}}\cdot\left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Z powrotem zastępujemy e^{ln x} przez x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot\left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

W ten sposób otrzymaliśmy ostateczny wynik.