Podstawowe przykłady na pochodne

W tym artykule najpierw pokażemy kilka przydatnych wzorów do obliczania pochodnych, a potem spróbujemy obliczyć pochodne kilku funkcji — prostych i złożonych. Jeśli nie szukasz rozwiązanych przykładów, tylko potrzebujesz wyjaśnienia definicji pochodnej, przejdź do artykułu pochodna funkcji.

Pochodne wielomianów

Najpierw wspomnimy o kilku wzorach, które będą nam potrzebne przy obliczaniu pochodnych funkcji mających postać wielomianu. Po lewej stronie jest elementarna funkcja, którą chcemy zróżniczkować, a po prawej stronie funkcja, którą otrzymujemy po zróżniczkowaniu. Dla porządku: c jest stałą (w pierwszym wierszu jest więc funkcja stała) i różniczkujemy względem x.

$$\begin{eqnarray} c^\prime&=&0\\ x^\prime&=&1\\ (x^c)^\prime&=&c\cdot x^{c-1} \end{eqnarray}$$

Kilka konkretnych przykładów:

$$f(x)=5$$

To jest funkcja stała, stosujemy więc pierwszy wzór i dostajemy:

$$f^\prime(x)=0.$$

Funkcja liniowa f(x) = x ma według drugiego wzoru pochodną

$$f^\prime(x)=1,$$

nie ma tu czego dalej badać. Spróbujmy więc zróżniczkować funkcję

$$f(x)=x^5.$$

Stosujemy ostatni wzór, w którym za c podstawiamy wykładnik, czyli c = 5.

$$f^\prime(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

Wzór działa także dla wykładnika ujemnego, więc jeśli chcemy zróżniczkować funkcję

$$f(x)=x^{-7},$$

dostajemy:

$$f^\prime(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

Do dalszej zabawy będziemy potrzebować wzorów na pochodną sumy i iloczynu funkcji. A gdybyśmy chcieli z pochodnej odzyskać z powrotem funkcję wyjściową, użyjemy całek.

Pochodna sumy

Jeśli chcemy obliczyć pochodną funkcji, która zawiera jakieś wyrażenia w sumie, to po prostu obliczamy pochodne poszczególnych składników i dodajemy wyniki cząstkowe. Zapisujemy to tak:

$$(f_1(x)+f_2(x))^\prime=f_1^\prime(x)+f_2^\prime(x)$$

Prosty przykład: weźmy funkcję f(x) = x + 5. Pochodną tej funkcji będzie:

$$f^\prime(x)=x^\prime+5^\prime=1+0=1.$$

Funkcję rozłożyliśmy na dwie funkcje, o tak:

$$\begin{eqnarray} f_1(x)&=&x\\ f_2(x)&=&5 \end{eqnarray}$$

i tylko podstawiliśmy do wzoru. Czyli obliczyliśmy pochodne funkcji f₁ i f₂, a wyniki dodaliśmy. Identycznie działa to dla odejmowania. Bardziej złożony przykład:

$$f(x)=x^3+x-8$$

Znów tylko zróżniczkujemy poszczególne trzy składniki i zostawimy je w sumie:

$$f^\prime(x)=(x^3)^\prime+x^\prime-8^\prime=3x^2+1+0$$

Pochodna iloczynu

Pochodnej iloczynu niestety nie liczy się już tak prosto jak pochodnej sumy, dla iloczynu dwóch funkcji musimy użyć nieco bardziej skomplikowanego wzoru:

$$(f(x)\cdot g(x))^\prime=f^\prime(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^\prime (x)$$

Trywialną funkcją, która zawiera mnożenie, jest na przykład funkcja

$$s(x)=5\cdot x^2$$

We wzorze na pochodną iloczynu mamy dwie funkcje, z tej jednej funkcji s(x) otrzymamy je tak: f(x) = 5 i g(x) = x². Teraz już tylko łatwo podstawimy:

$$s^\prime(x)=5^\prime\cdot x^2+5\cdot (x^2)^\prime=0\cdot x^2+5\cdot2x=10x$$

Widzimy, że jeśli mamy funkcję w postaci

$$f(x)=a\cdot x^c,$$

to po zróżniczkowaniu dostajemy

$$(a\cdot x^c)^\prime=a\cdot (x^c)^\prime=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Tę regułę możemy jeszcze uogólnić i zamiast wielomianu podstawić dowolną funkcję. Dla dowolnej funkcji f(x) zachodzi więc

$$(a\cdot f(x))^\prime=a\cdot f^\prime(x).$$

Dla przykładu spróbujmy więc zróżniczkować tę funkcję:

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

Na początku różniczkowania najpierw stosujemy regułę sumy:

$$f^\prime(x)=(5x^3)^\prime-(7x^2)^\prime+10^\prime=$$

Wyrażenia w postaci iloczynu rozpisujemy według ostatniego wzoru:

$$=5(x^3)^\prime-7(x^2)^\prime+10^\prime=$$

Różniczkujemy wyrażenia w nawiasach według reguły dla pochodnej x^c.

$$=5\cdot3x^2-7\cdot2x+0=$$

I na koniec już tylko mnożymy współczynniki:

$$=15x^2-14x.$$

Pochodna ilorazu

Pochodna ilorazu jest znów trochę bardziej skomplikowana niż pochodna iloczynu. Wzór:

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^\prime=\frac{f^\prime(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g^\prime(x)}{g^2(x)}$$

Poza tym postępujemy analogicznie jak przy iloczynie. Od razu więc przykład:

$$\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)^\prime=$$

Licznik ułamka to funkcja f(x), mianownik to funkcja g(x). I teraz już tylko podstawiamy do wzoru:

$$=\frac{(x^2+3x+1)^\prime(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1)^\prime}{(2x-1)^2}=$$

W mianowniku mamy mianownik podniesiony do kwadratu, a w liczniku ułamek rozpisany według wzoru. Teraz zróżniczkujemy pierwszy i ostatni nawias. Znów jest tam reguła sumy, to już pominę i napiszę od razu wynik:

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1)^2}=\ldots$$

To wyrażenie możemy jeszcze jakoś uprościć, ale w tym rozdziale nie jest to już istotne.

Pochodne funkcji elementarnych

Teraz podamy, bez dalszego wyprowadzania, kilka wzorów na pochodne popularnych funkcji.

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne:

$$\begin{eqnarray} (c^x)^\prime&=&c^x\ln c;\quad c>0\\ (e^x)^\prime&=&e^x\\ (\log_ax)^\prime&=&\frac{1}{x\cdot \ln a};\quad a>0\wedge a\ne1\\ (\ln x)^\prime&=&\frac{1}{x} \end{eqnarray}$$

Zauważ, że pochodna funkcji e^x to znów e^x. To nie literówka, tylko miła własność, która stała się podstawą wielu, wielu żartów.

Funkcje trygonometryczne (w Polsce tangens i cotangens zapisuje się tg i ctg):

$$\begin{eqnarray} (\sin x)^\prime&=&\cos x\\ (\cos x)^\prime&=&-\sin x\\ (\operatorname{tg} x)^\prime&=&\frac{1}{\cos^2x}\\ (\mbox{cotan} x)^\prime&=&-\frac{1}{\sin^2x} \end{eqnarray}$$

Jakiś prosty przykład:

$$(3\sin x + 2\ln x)^\prime=$$

Oba wyrażenia są w sumie, więc wystarczy dodać pochodne tych dwóch wyrażeń. Każde wyrażenie zawiera na początku stałą, która mnoży funkcję za nią — wiemy, że w takiej sytuacji wystarczy zróżniczkować samą funkcję, a stałej nie zmieniać. Zróbmy to:

$$=3(\sin x)^\prime+2(\ln x)^\prime=$$

To już są pochodne tablicowe (wzory z tablic):

$$=3\cos x+2\frac1x=3\cos x+\frac2x.$$

Pochodna funkcji złożonej

Z własności pochodnej i z jej zastosowania przy badaniu przebiegu zmienności funkcji wiemy, że przy pewnych warunkach możemy mieć dwie funkcje, które są różniczkowalne, i ich złożeniem znów otrzymamy funkcję różniczkowalną. Pokażemy, jak obliczyć pochodną takiej funkcji złożonej.

Pochodna funkcji złożonej to chyba najtrudniejsze pojęcie spośród tych podstawowych pochodnych. Funkcje jako takie możemy składać. Czym jest funkcja złożona, możesz przeczytać dokładniej w artykułach Czym jest funkcja albo Dziedzina funkcji. Z grubsza oznacza to, że jako argument jednej funkcji przekazujemy inną funkcję. Zapis symboliczny wyglądałby tak: h(g(x)). Konkretną funkcją może być na przykład

$$f(x)=\sin(2x).$$

Jakie dwie funkcje tam są? Sinus i funkcja wewnętrzna 2x. Na tę funkcję f nie możemy tak po prostu zastosować ogólnego wzoru na sin(x), bo ten zakłada, że w argumencie dostanie x, a nie 2x. Obliczanie pochodnej funkcji złożonej przebiega więc tak:

$$\begin{eqnarray} f(x)&=&h(g(x))\\ f^\prime(x)&=&h^\prime (g(x))\cdot g^\prime(x) \end{eqnarray}$$

Czyli różniczkujemy funkcję zewnętrzną, zostawiamy jej ten sam argument i mnożymy to przez pochodną funkcji wewnętrznej. W przypadku przykładu z sinusem zachodziłoby:

$$(\sin(2x))^\prime=\sin^\prime(2x)\cdot(2x)^\prime=$$

Ta kreska tylko nad sinusem oznacza, że różniczkujemy już tylko sam sinus, a nie całe wyrażenie, jak w wyrażeniu po lewej stronie równania. Pochodną sinusa jest cosinus, więc zamiast sinusa po prostu napiszemy cosinus. A pochodna 2x to 2:

$$=\cos(2x)\cdot2=2\cos(2x).$$

Kolejny przykład, trochę trudniejszy.

$$(\cos(\ln x^2))^\prime=$$

Tutaj mamy o jedną funkcję wewnętrzną więcej. Funkcją zewnętrzną jest cosinus, środkową logarytm, a najbardziej wewnętrzną potęga x². Postępujemy jednak znów według wzoru. Rozpiszmy to:

$$=\cos^\prime(\ln x^2)\cdot(\ln x^2)^\prime=$$

Różniczkujemy tylko cosinus, argument cosinusa zostawiamy bez zmian, czyli zostawiamy tam cały logarytm. Całe to wyrażenie mnożymy jeszcze przez pochodną argumentu, czyli przez pochodną logarytmu. Różniczkujemy cosinus i mamy:

$$=-\sin(\ln x^2)\cdot(\ln x^2)^\prime=$$

Wyrażenie po prawej się nie zmieniło, zróżniczkowaliśmy tylko cosinus. Teraz zabierzemy się do pochodnej logarytmu. Znów jest to funkcja złożona, więc rekurencyjnie stosujemy wzór na pochodną funkcji złożonej. Lewe wyrażenie już tylko przepisujemy:

$$=-\sin(\ln x^2)\cdot\ln^\prime x^2\cdot(x^2)^\prime=$$

Różniczkujemy logarytm i zostawiamy mu ten sam argument, czyli x². Ale całe wyrażenie mnożymy jeszcze przez pochodną argumentu, czyli właśnie przez pochodną x². Pochodną logarytmu jest ułamek 1/x, gdzie za x podstawiamy nasz argument x², a pochodną x² jest 2x.

$$=-\sin(\ln x^2)\cdot\frac{1}{x^2}2x=-\sin(\ln x^2)\cdot\frac{2}{x}=-\frac{2\sin(\ln x^2)}{x}.$$