Обернена матриця

Обернена матриця — це матриця, означена на квадратних невироджених матрицях. Добуток матриці та її оберненої матриці дає одиничну матрицю.

Означення

Обернену матрицю можна обчислювати лише для квадратної матриці, для прямокутної матриці обернена не означена. Обернена матриця до матриці A (позначаємо A⁻¹) існує лише тоді, коли матриця невироджена (не має лінійно залежних рядків). Тоді ця матриця визначена однозначно. Дві основні властивості оберненої матриці:

$$(A^{-1})^{-1}=A$$

І головна, найважливіша властивість оберненої матриці (яка водночас є й означенням оберненої матриці):

$$A\cdot A^{-1} = E$$

E — це одинична матриця.

Як обчислити обернену матрицю

А тепер про метод обчислення оберненої матриці. Найпростіший алгоритм — метод Гаусса, який полягає в тому, що матрицю A перетворюють до одиничної, поруч із нею пишуть одиничну матрицю, і над цією матрицею виконують ті самі перетворення, що й над матрицею A. Наприкінці обчислень ліворуч маємо матрицю A, перетворену на одиничну, а праворуч — обернену матрицю. Спробуймо на простому прикладі:

$$\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)$$

Одним поглядом бачимо, що матриця невироджена, тож обчислювати обернену матрицю має сенс. Коли обчислюємо обернену матрицю, зазвичай записуємо це у вигляді:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&4&0&1\end{array}\right)$$

Тепер ліву матрицю перетворимо на одиничну, а ті самі перетворення виконуватимемо над правою матрицею. Додамо до другого рядка перший, помножений на −3. Спочатку ліва матриця:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-2&0&1\end{array}\right)$$

Тепер додамо до другого рядка правої матриці перший рядок правої матриці, помножений на −3:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-2&-3&1\end{array}\right)$$

Тепер треба отримати нуль на позиції a₁₂. Достатньо додати до першого рядка другий. Тепер уже виконаю обидва перетворення за один крок:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-2&1\\0&-2&-3&1\end{array}\right)$$

А тепер позбудемося мінус двійки, поділивши весь рядок на мінус два:

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-2&1\\0&1&\frac32&-\frac12\end{array}\right)$$

Отже, обернена матриця:

$$\left(\begin{array}{cc}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{array}\right)$$

Якщо хочеш перевірити, чи правильно обчислено обернену матрицю, помнож її на початкову матрицю:

$$\left(\begin{array}{cc}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)$$

Для перевірки можна зазирнути на WolframAlpha.

Обчислення через визначник

Обернену матрицю можна обчислити й за допомогою визначника. Якщо маємо невироджену матрицю A, то обернена матриця A⁻¹ має елементи a⁻¹_ij, які дорівнюють:

$$a^{-1}_{ij}=\frac{(-1)^{i+j}\cdot\left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

Ліворуч маємо i,j, а в чисельнику j,i — зверни на це увагу, це не помилка, що вони переставлені. У чисельнику маємо матрицю A_j,i, тобто підматрицю матриці A, яку отримуємо, якщо з матриці A викреслити j-й рядок і i-й стовпець. Отже, якщо

$$ A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}, $$

то виконується:

$$ A_{1{,}1}=\begin{pmatrix} \not{1}&\not{2}&\not{3}\\ \not{4}&5&6\\ \not{7}&8&9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5&6\\ 8&9 \end{pmatrix},\quad A_{1{,}3}=\begin{pmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{pmatrix},\quad A_{2{,}2}=\begin{pmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{pmatrix} $$

Якщо тобі не подобається, що індекси там навпаки, можна записати це й так:

$$(a^{-1}_{ij})^T=\frac{(-1)^{i+j}\cdot\left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Тобто якщо не переставляти індекси, то обчислиш транспоновану обернену матрицю. Якщо цю транспоновану матрицю знову транспонувати, отримаєш обернену матрицю.

Обчислення за цим методом зазвичай громіздке, воно годиться передусім для машинної обробки, бо дуже прямолінійне. У прикладі спробуємо обчислити лише два числа. Отже, маємо таку матрицю:

$$ A=\begin{pmatrix} 3&-4&5\\ 2&-3&1\\ 3&-5&-1 \end{pmatrix} $$

Спочатку обчислимо визначник усієї цієї матриці, він використовується в знаменнику дробу:

$$\det(A)=-1$$

Тепер обчислимо перший елемент оберненої матриці. Позначимо його a⁻¹₁₁. Він дорівнюватиме:

$$a^{-1}_{11}=\frac{(-1)^{1+1}\cdot\left|A_{1{,}1}\right|}{\left|A\right|}$$

Нам потрібна підматриця A_1,1. Викресливши перший рядок і перший стовпець, отримаємо:

$$A_{1{,}1}= \begin{pmatrix} -3&1\\ -5&-1 \end{pmatrix} $$

Тепер потрібно обчислити визначник цієї матриці:

$$\det(A_{1{,}1})=8$$

А тепер можемо підставити у формулу:

$$a^{-1}_{11}=\frac{(-1)^{2}\cdot8}{-1}=\frac{1\cdot8}{-1}=-8$$

І маємо перший елемент оберненої матриці.

$$A^{-1}= \begin{pmatrix} -8&?&?\\ ?&?&?\\ ?&?&? \end{pmatrix}$$

Друге число отримаємо так:

$$a^{-1}_{12}=\frac{(-1)^{1+2}\cdot\left|A_{2{,}1}\right|}{\left|A\right|}$$

Визначник підматриці дорівнюватиме

$$\det(A_{2{,}1})= \begin{vmatrix} -4&5\\ -5&-1 \end{vmatrix}=29 $$

А підставивши все, отримаємо:

$$a^{-1}_{12}=\frac{(-1)^{3}\cdot29}{-1}=\frac{-1\cdot29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Ще один шматочок пазла:

$$A^{-1}= \begin{pmatrix} -8&29&?\\ ?&?&?\\ ?&?&? \end{pmatrix}$$

І так далі, і так далі.