Відношення

Відношення — це математичний відповідник звичайного поняття «зв'язок». У повсякденному житті, скажімо, Ольга пов'язана з Надією, а саме зв'язком «мати — донька». Інший такий зв'язок — «країна — столиця цієї країни». Як приклад можна взяти Єгипет — Каїр.

Інші приклади відношень

Візьмімо ще приклади. У вступі ми згадали відношення (зв'язки) «бути матір'ю своєї доньки» та «бути столицею країни». Розглянемо інші: «бути парним числом». У цьому відношенні перебувають числа 2, 4, 8, 18, 58, 66 і багато інших. Числа 1, 3, −7, 19 у відношенні «бути парним числом» не перебувають. Відношенням із повсякденного світу може бути «бути чоловіком». Адам, Мирослав, Лука чи Мартин перебувають у відношенні «бути чоловіком».

Іншим прикладом може бути відношення «менше ніж». Наприклад, число три «менше ніж» число п'ять. Математично це можна записати як 3<5. Або відношення рівності: число три «дорівнює» числу три, математично: 3 = 3.

Можемо мати й складніші приклади: «батько й мати є батьками дитини». У цьому відношенні буде трійка людей: батько Данило, мати Марія й дитина Ярина. У математиці відношення з трьома елементами можна вигадати так: сума перших двох чисел дорівнює третьому числу. Наприклад, ці числа в цьому порядку перебувають у такому відношенні: 3, 4, 7, бо 3 + 4 = 7. Ці числа у відношенні не перебувають: 3, 5, 12, бо 3 + 5≠12.

Арність відношення

Арність — термін, що звучить дивно, але лише вказує, скільки елементів ми маємо у відношенні. У попередніх прикладах ми працювали з різною кількістю елементів. Для відношення «бути чоловіком» нам вистачило одного елемента, тож можна сказати: «Іван — чоловік». Досить одного імені, одного елемента. Про таке відношення кажемо, що воно унарне.

У наступному прикладі було відношення «менше ніж». Воно працювало з двома числами, з двома елементами. Ми сказали, що число три менше за п'ять. Ми використали два елементи, тому відношення бінарне.

В останньому прикладі ми використали загалом три елементи: сума двох чисел мала дорівнювати третьому. Отже, маємо числа a, b, c, і мало виконуватися a + b = c. Це відношення було б тернарним.

Для вищих арностей можна використати запис «n-арне відношення». Але його можна вжити й для нижчих арностей: бінарне відношення можна записати як 2-арне. Елементи відношення тоді записуємо у вигляді впорядкованих n-ок. Якщо маємо бінарне відношення, записуємо їх як пари, зазвичай у круглих дужках або в кутових дужках. Тож якщо хочемо записати, що числа три й п'ять перебувають у відношенні «менше ніж», маємо записати числа як пару: (3; 5), або ж <3; 5>. Зверни увагу: слід дбати про порядок, навпаки це не виконувалося б: (3; 5) ≠ (5; 3) — п'ять не менше за три.

Родинний приклад

Перш ніж братися до математичних означень, розгляньмо ще один типовий приклад із родиною. Маємо таких членів однієї родини:

• Максим: дід по батькові;
• Йосип: батько;
• Дарина: мати;
• Оксана: донька;
• Іван: син.

Спочатку знайдемо всіх членів родини, що відповідають відношенню «бути чоловіком». Це 1-арне, тобто унарне відношення. У ньому завжди буде лише один елемент, один член родини. Тепер треба виписати всіх членів родини чоловічої статі. Порядок зараз не має значення. Отже, відношення «бути чоловіком» містить такі елементи: ${(\text{Максим}), (\text{Йосип}), (\text{Іван})}$. Зверни увагу: хоча це унарне відношення, ми використали круглі дужки. Це не обов'язково, запис був би зрозумілий і без них, але заради послідовності дужки залишено. Сукупність усіх елементів відношення — це звичайна множина, тому й фігурні дужки.

Тепер знайдемо всі пари відношення «батько — син». Це вже на вигляд бінарне відношення, у результаті з'являться впорядковані пари елементів. Отримана множина виглядає так: ${(\text{Йосип}; \text{Іван}), (\text{Максим}; \text{Йосип})}$. Батько Йосип — батько сина Івана, а дід Максим — батько батька Йосипа. Зверни увагу, що порядок справді важливий: Йосип тут двічі, але один раз на першому місці в ролі батька, а вдруге — на другому місці в ролі сина.

Спробуймо ще одне відношення: «батько чи мати — дитина». Тут елементів буде більше, бо на першому місці може бути будь-хто з батьків, і батько, і мати, а на другому — будь-яка дитина, і син, і донька. Слід також урахувати, що дід Максим — батько Йосипа, але не є батьком Дарини. Проте Йосип і Дарина обоє — батьки Оксани та Івана. Оксана з Іваном не є батьками нікого, бо їм лише дев'ятнадцять і тринадцять років. У результаті будуть такі впорядковані пари: ${(\text{Максим}; \text{Йосип}), (\text{Йосип}; \text{Оксана}), (\text{Йосип}; \text{Іван}), (\text{Дарина}; \text{Оксана}), (\text{Дарина}; \text{Іван})}$. Зверни увагу, що Йосип і Дарина тут трапляються двічі — один раз як батьки доньки Оксани, вдруге — як батьки Івана.

Останній підступний приклад на бінарні відношення. Нехай маємо відношення «брат чи сестра — брат чи сестра». Тут слід пам'ятати, що у відношеннях має значення порядок, тому якби ми в результаті записали лише «Оксана — Іван», це було б неправильно, адже це зовсім інша впорядкована пара, ніж «Іван — Оксана». Тому правильний результат: ${(\text{Оксана}; \text{Іван}), (\text{Іван}; \text{Оксана})}$.

І ще коротенький приклад на тернарне відношення: випиши всі впорядковані трійки відношення «дід — батько — дитина». У завданні маємо лише одного діда й одного батька, але двох нащадків. Недостатньо записати лише варіант з Оксаною чи з Іваном, мусимо вписати обох. Інакше було б, якби наприкінці замість «дитина» стояв «син». Правильний результат: ${(\text{Максим}; \text{Йосип}; \text{Оксана}), (\text{Максим}; \text{Йосип}; \text{Іван})}$.

Означення унарного відношення

Спробуймо дослідити найпростіші відношення, унарні. Під унарним відношенням розуміємо якусь множину елементів. Множина {2, 3} може подавати якесь відношення. Наприклад, відношення «бути простим числом, меншим за п'ять» або «бути нетривіальним дільником числа шість» — залежно від нашої інтерпретації.

Уважніші читачі помітили, що друге відношення означено якось дивно. Воно каже, що відношення має містити нетривіальні дільники числа шість, а в результуючій множині маємо числа 2 і 3. Хіба чогось там не бракує? Числа 1 і 6 — тривіальні дільники, вони нас не цікавлять. Але мали б там бути й від'ємні числа, тобто −2 і −3. Множина всіх нетривіальних дільників числа 6 виглядає так: {−3, −2, 2, 3}.

Подібно до того, як у функцій вказуємо область визначення, у відношення вказуємо носій — множину, з якої вибираємо елементи відношення. У попередніх прикладах ми, скажімо, вказали родину, де був дід Максим тощо. Ми не вибирали батьків і дітей з усіх родин світу. Якщо за носій вказати множину натуральних чисел, то наше відношення буде коректним.

Тепер уже можемо братися до означення відношення. Якщо носієм є натуральні числа, які елементи може містити наше унарне відношення? Знову ж лише натуральні числа. Або всі, або лише якусь частину. Тож можемо сказати, що це відношення буде підмножиною множини натуральних чисел. Загальніше: якщо маємо унарне відношення R і носій M, то R ⊆ M, тобто відношення R є підмножиною множини M.

Означення бінарного відношення

Як це виглядатиме для бінарного відношення? У бінарного відношення R елементи — впорядковані пари. Кожен елемент пари може бути з іншої множини. Можемо мати відношення «батько чи мати — кількість дітей». Батька чи матір вибиратимемо з множини людей, скажімо, в Європі, а кількість дітей — з множини натуральних чисел разом із нулем.

Як з двох множин отримати множину всіх можливих пар? За допомогою декартового добутку. Якщо маємо множини A = {a, b, c}, B = {1, 2}, то декартовим добутком отримаємо:

$$A\times B=\left\{(a; 1), (a; 2), (b; 1), (b; 2), (c; 1), (c; 2)\right\}$$

Це множина всіх можливих пар, які можна отримати, ставлячи на перше місце елемент множини A, а на друге — елемент множини B. Отже, якщо маємо бінарне відношення R між множинами A і B, то це відношення можна означити як R ⊆ A × B.

Якби ми залишили попередні множини A і B та означили між ними відношення R так: «буква — номер букви в абетці», то це відношення виглядало б так: R = {(a; 1), (b; 2)}. Букви c там уже не буде, бо в декартовому добутку A × B немає пари (c; 3).

Означення n-арного відношення

Нарешті означимо загальне n-арне відношення R між множинами M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times\ldots\times M_n$$

Отже, відношення — це підмножина впорядкованих n-ок. Прикладом бінарного відношення може бути відношення «менше ніж», тобто <. Його можна означити між якимись числовими множинами, наприклад, між натуральними числами. Тоді відношення виглядатиме так:

$$< \subseteq \mathbb{N}\times\mathbb{N}$$

(Не лякайся, що знак < так дивно стоїть ліворуч. Це лише назва відношення. Там знову могло б стояти R, де R позначало б відношення «менше ніж».)

Конкретно це відношення виглядало б так:

$$\begin{eqnarray} <\quad=&&(1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), \ldots\\ &&(2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), \ldots\\ &&(3; 4), (3; 5), (3; 6), (3; 7), \ldots\\ &&(4; 5), (4; 6), (4; 7), (4; 8), \ldots\\ &&\ldots\\ && \end{eqnarray}$$

Це множина впорядкованих пар таких, що натуральне число на першому місці менше за натуральне число на другому місці.

Запис відношень

Відношення зазвичай називаємо великими літерами R, S тощо або усталеними символами: <, ⊆, = тощо. З попередніх означень видно, що відношення насправді є множиною. Зрештою, майже все в математиці — це, власне, множина :-). Тому, якщо хочемо сказати, що елемент r належить відношенню R, можемо записати r ∈ R.

Наприклад, можемо записати (1; 3) ∈ <, і це означає, що пара чисел один і три належить відношенню «менше ніж». У бінарних відношень часто трапляється приємніший запис, який ти знаєш ще зі школи. Замість оператора належності ∈ просто пишемо 1 < 3. Так само зазвичай не пишемо (5; 5) ∈ = , а пишемо 5 = 5.