Векторні простори

Векторний, інколи також званий лінійним, простір — це множина елементів, які мають задовольняти деякі умови, завдяки яким елементи цієї множини, що їх ми називаємо векторами, поводяться «гарно».

Приклад векторного простору

Перш ніж дати означення векторного простору, покажемо приклад векторного простору, який ти вже мав би знати зі школи, тільки не знаєш, що це векторний простір. Це звичайні вектори на площині.

Вектором на площині називаємо впорядковану пару (a; b), де a, b ∈ ℝ. Це будь-які координати у просторі ℝ² (мається на увазі декартів добуток ℝ×ℝ). Такий вектор можна зобразити стрілкою з точки (0; 0) до точки (a; b). Вектор (2; 3) виглядав би так:

Ми знаємо, що вектори можна додавати за правилом (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d). Сума векторів (2; 3) + (4; 1) дорівнювала б вектору (2 + 4; 3 + 1) = (6; 4). Графічно це зображується так:

Водночас можна обчислити добуток вектора на число k, де k — дійсне число. Добуток на число k записуємо як k · (a; b). Результатом є новий вектор, який означається як k · (a; b) = (k · a; k · b). Графічно це виглядає так, що вектор «розтягується», «скорочується» або змінює напрям. Якщо маємо вектор $\vec{u}(2; 3)$, то вектори $2\cdot \vec{u}$, $\frac12\vec{u}$ і $-1\cdot \vec{u}$ виглядають так:

Те, що множина всіх векторів ℝ² із так означеними операціями утворює векторний простір, ми доведемо пізніше. Спершу дамо означення векторного простору й на цьому векторному просторі ℝ² покажемо окремі властивості.

Означення векторного простору

Векторний простір (або також лінійний простір) — це непорожня множина V, елементи якої називаємо векторами. Далі на множині мають існувати дві операції: додавання векторів, тобто відображення $V \times V \longrightarrow V$, і множення вектора на дійсне число, тобто відображення $\mathbb{R} \times V \longrightarrow V$. (Загальніше, замість множини дійсних чисел можна взяти будь-яке поле, але про це в наступних статтях.) Додавання векторів позначаємо знаком +, множення — · . Ці дві операції мають задовольняти такі умови. Тобто для всіх $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in V$ і для всіх a, b ∈ ℝ має виконуватися (зверни увагу, що вектори $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ позначено стрілкою, а числа a, b — звичайно):

1. $\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x}$: додавання векторів комутативне. Якщо повернутися до прикладу з векторами в ℝ², то не має значення, чи додамо вектори так: (2; 3) + (4; 1), чи навпаки: (4; 1) + (2; 3).

• $(\vec{x}+\vec{y})+\vec{z}=\vec{x}+(\vec{y}+\vec{z})$: додавання векторів асоціативне. Знову можна підставити якісь вектори з ℝ² і побачити, що все сходиться.
• $a\cdot(b\cdot \vec{x}) = (a\cdot b)\cdot\vec{x}$: асоціативна властивість множення. Для наших векторів 4 · (5 · (6; 7)) — те саме, що (4 · 5) · (6; 7). Обидва приклади ведуть до вектора (20 · 6; 20 · 7).
• $a \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = a\cdot \vec{x} + a\cdot \vec{y}$: розподільна властивість для векторів із V. Знову бачимо, що 2 · ((2; 3)+(4; 5)) — те саме, що 2 · (2; 3)+2 · (4; 5). Обидва вирази ведуть до вектора (2 · 6; 2 · 8).
• $(a+b)\cdot \vec{x} = a\cdot \vec{x}+b\cdot \vec{x}$: розподільна властивість щодо додавання чисел.
• $1\cdot \vec{x} = \vec{x}$: якщо помножити будь-який вектор на дійсне число 1, значення вектора не зміниться. У нашому випадку 1 · (5; 8) = (5; 8).
• Існує елемент $\vec{0}\in V$ такий, що $0\cdot \vec{x} = \vec{0}$. Нуль зі стрілкою, тобто $\vec{0}$, — це так званий нульовий вектор, тоді як звичайний нуль 0 — просто число нуль. Ця умова каже, що у V має існувати вектор, який отримуємо, помноживши будь-який вектор $\vec{x}\in V$ на число нуль. Для нашого простору ℝ² це вектор (0; 0), бо для всіх векторів (a; b) ∈ ℝ² виконується 0 · (a; b) = (0; 0).

Це всі властивості, яким має задовольняти векторний (лінійний) простір V. Якщо множимо вектор на якесь дійсне число a, то це число a називаємо скаляром. Тому часто говорять про множення на скаляр і мають на увазі вираз виду $a\cdot \vec{x}$, де a — дійсне число, а $\vec{x}$ — вектор.

Подвійне значення знака плюс +

Зверни увагу, що в деяких виразах знак плюс + може мати подвійне значення. Наприклад, в умові про розподільну властивість щодо додавання чисел маємо рівняння $(a+b)\cdot \vec{x} = a\cdot \vec{x}+b\cdot \vec{x}$. При цьому знак + у лівій частині рівняння додає дійсні числа, бо a і b — дійсні числа, а в правій частині додає вектори, бо результатом добутку $a\cdot \vec{x}$ є вектор.

Таке автоматичне розпізнавання в математиці використовують часто — з контексту завжди зрозуміло, про яке додавання йдеться. Якщо маємо вираз x + y, де x, y — вектори, застосовуємо векторну суму. Якби x, y були числами, застосували б звичайну суму. Якби це були матриці, застосували б матричну суму, і так далі.

Для додавання векторів ми могли б використати інший знак, наприклад $\oplus$. Тоді розподільну властивість щодо додавання чисел можна було б записати так: $(a+b)\cdot \vec{x} = a\cdot \vec{x}\oplus b\cdot \vec{x}$. Звичайний + тут позначає додавання дійсних чисел a, b, знак $\oplus$ позначає додавання векторів. Але здебільшого для обох видів додавання використовують один знак + і його значення визначається з контексту. Те саме стосується знака · .

Векторний простір R²

У першій частині ми означили векторний простір V = ℝ², тепер доведемо, що це справді векторний простір. Спершу треба перевірити, чи правильно означені операції додавання та множення. Додавання має додавати два вектори, а результатом має бути новий вектор. Це виконано, бо (a; b)+(c; d) = (a + c; b + d). Додавши два вектори з ℝ², отримуємо новий вектор з ℝ².

Якби ми, наприклад, означили додавання векторів як суму їхніх довжин, то це не була б коректна операція додавання у векторному просторі. Довжину вектора (a; b) ми б обчислили як $\sqrt{a^2+b^2}$. Результатом суми (3; 4)+(5; 12) тоді було б число $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+12^2}=5+13=18$, а це не вектор простору ℝ².

Далі треба перевірити, чи правильно означене множення. Множення множить дійсне число на вектор з ℝ², і результатом має бути новий вектор з ℝ². Це знову виконано, бо множення на скаляр ми означили як k · (a; b) = (k · a; k · b).

Послідовно перевіримо всі 7 властивостей, яким має задовольняти векторний простір. Замість окремих векторів $\vec{x}, \vec{y}$ підставлятимемо наші вектори (a; b), (c; d), … залежно від того, як буде зручно, не лякайся цього.

1. $\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x}$, комутативність додавання векторів. Чи є означене нами додавання векторів комутативним? Так, бо воно означене як (a; b)+(c; d) = (a + c; b + d). Якщо в лівій частині поміняти вектори місцями, отримаємо: (c; d)+(a; b) = (c + a; d + b). Оскільки c + a — сума двох дійсних чисел, а сума дійсних чисел — комутативна операція, то c + a = a + c, і те саме для другої пари: d + b = b + d. Отже, (a + c; b + d) = (c + a; d + b).

• $(\vec{x}+\vec{y})+\vec{z}=\vec{x}+(\vec{y}+\vec{z})$. Це буде така собі гра з дужками. По суті, йдеться про прості перетворення, тільки вони виглядатимуть заплутано, бо дужок там просто забагато. Спробуймо обчислити таку суму векторів:

$$ \left(\left(a; b\right)+\left(c; d\right)\right)+\left(e; f\right) = \left(a+c; b+d\right)+\left(e; f\right)=\left(\left(a+c\right)+e; \left(b+d\right)+f\right) $$

Оскільки a, c, e — дійсні числа, а операція додавання на дійсних числах асоціативна, то (a + c)+e = a + c + e. Те саме для другої координати. Отже, можемо записати, що

$$ \left(\left(a; b\right)+\left(c; d\right)\right)+\left(e; f\right) = \left(a+c+e; b+d+f\right) $$

Тепер спробуймо додати ті самі вектори, розставивши дужки інакше:

$$\left(a; b\right)+\left(\left(c; d\right)+\left(e; f\right)\right)=\left(a; b\right)+\left(c+e; d+f\right)=\left(a+\left(c+e\right); b+\left(d+f\right)\right)$$

Знову a+(c + e) = a + c + e, тож можемо записати, що

$$\left(a; b\right)+\left(\left(c; d\right)+\left(e; f\right)\right)=\left(a+c+e; b+d+f\right)$$

Бачимо, що як би ми не розставили дужки в сумі трьох векторів, завжди отримаємо той самий вектор (a + c + e; b + d + f). Отже, операція додавання в ℝ² асоціативна й задовольняє другу властивість векторних просторів.

Можеш спробувати замість змінних a, …, f підставити конкретні числа, і побачиш, що все сходитиметься.

• $a\cdot(b\cdot \vec{x}) = (a\cdot b)\cdot\vec{x}$. Знову спершу розпишемо ліву частину рівняння, підставивши замість $\vec{x}$ вектор (c; d):

$$a\cdot \left(b \cdot \left(c; d\right)\right) = a \cdot \left(b \cdot c; b \cdot d\right) = \left(a \cdot (b \cdot c); a\cdot (b\cdot d)\right)$$

Оскільки множення дійсних чисел асоціативне, маємо рівність a · (b · c) = a · b · c. Тож можемо записати:

$$a\cdot \left(b \cdot \left(c; d\right)\right) = \left(a\cdot b \cdot c; a\cdot b\cdot d\right)$$

Тепер розпишемо праву частину рівняння, тобто частину $(a\cdot b)\cdot\vec{x}$:

$$(a\cdot b)\cdot\left(c; d\right)=\left((a\cdot b)\cdot c; (a\cdot b)\cdot d\right)$$

Знову (a · b) · c = a · b · c, тож:

$$(a\cdot b)\cdot\left(c; d\right)=\left(a\cdot b \cdot c; a\cdot b\cdot d\right)$$

Бачимо, що обидві частини рівняння ведуть до одного вектора (a · b · c; a · b · d), тож рівняння виконується.

• $a \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = a\cdot \vec{x} + a\cdot \vec{y}$. Хід буде той самий, розпишемо ліву частину рівняння:

$$a\cdot\left(\left(c; d\right)+\left(e; f\right)\right) = a\cdot\left(\left(c+e; d+f\right)\right)=\left(a\cdot(c+e); a\cdot (d+f)\right)$$

Оскільки a, c, e — дійсні числа, для яких виконується розподільна властивість, отримуємо рівність: a · (c + e) = ac + ae. Тож можемо записати:

$$a\cdot\left(\left(c; d\right)+\left(e; f\right)\right) = \left(ac+ae; ad+af\right)$$

Права частина рівняння:

$$a\cdot\left(c; d\right)+a\cdot\left(e; f\right)=\left(ac; ad\right)+\left(ae; af\right)=\left(ac+ae; ad+af\right)$$

Бачимо, що ліва й права частини рівняння після перетворень рівні.

• $(a+b)\cdot \vec{x} = a\cdot \vec{x}+b\cdot \vec{x}$: Діятимемо дуже подібно до попереднього кроку. Перетворення лівої частини рівняння:

$$(a+b)\cdot\left(c; d\right)=\left((a+b)\cdot c; (a+b)\cdot d\right)=\left(ac+bc; ad+bd\right)$$

Права частина:

$$a\cdot\left(c; d\right)+b\cdot\left(c; d\right)=\left(ac; ad\right)+\left(bc; bd\right)=\left(ac+bc; ad+bd\right)$$

• $1\cdot \vec{x} = \vec{x}$: Я, щоправда, не вірю, що хтось узагалі дочитав аж до цього пункту, але нехай, продовжуємо :-). Цей пункт принаймні простий. Треба перевірити, що 1 · (a; b) = (a; b). Це, безумовно, виконується, бо

$$1\cdot\left(a; b\right)=\left(1\cdot a; 1\cdot b\right)=\left(a; b\right)$$

• Існує елемент $\vec{0}\in \mathbb{R}^2$ такий, що $0\cdot \vec{x} = \vec{0}$: це вектор (0; 0). Для нього виконується 0 · (a; b) = (0; 0), бо

$$0\cdot\left(a; b\right)=\left(0\cdot a; 0\cdot b\right)=\left(0; 0\right)$$

Кількість елементів векторних просторів

Який існує найменший векторний простір? З означення знаємо, що векторний простір — це непорожня множина V, тож найменший можливий розмір, який ми можемо розглядати, — це множина з одним вектором. Із сьомої умови означення знаємо, що простір має містити нульовий вектор. Отже, множина $V = \left\{\vec{0}\right\}$ є кандидатом на найменший векторний простір.

Додавання можемо означити як $\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}$, а множення як $a\cdot\vec{0}=\vec{0}$. Що б ми не робили, завжди отримаємо нульовий вектор. Очевидно, ця одноелементна множина матиме всі сім потрібних властивостей.

Тепер ми знаємо, що існує одноелементний векторний простір. Чи існує векторний простір з двома елементами? Чи можна на множині $V = \left\{\vec{x}, \vec{0}\right\}$ означити операції додавання та множення так, щоб утворився векторний простір?

Відповідь: ні, двоелементного векторного простору не існує. І не існує також жодного іншого скінченного векторного простору, крім згаданого одноелементного. Усі інші векторні простори вже нескінченні. Але якби ми, як було натякнуто, замість множини дійсних чисел узяли якесь інше, скінченне, поле, то могли б отримати й інший скінченний векторний простір.

Підсумок

Означення векторних просторів не зовсім просте, вектори й операції мають задовольняти загалом 7 умов, а це чимало. З іншого боку, самі ці умови досить тривіальні й зрозумілі — вони спрямовані на те, щоб з векторами добре працювалося. Завдяки означеним умовам ми можемо додавати вектори з векторного простору, не перевіряючи, чи не вийде в результаті вектор з іншого векторного простору. Так само можемо множити вектор на дійсне число й завжди отримаємо вектор з того самого простору. Те, що вектори та їхні операції дотримуються комутативної, асоціативної та розподільної властивостей, також цілком природно.

Векторний простір можна було б означити й загальніше. Замість множини дійсних чисел можна взяти будь-яке поле. Але про це в наступних статтях.

Посилання та джерела

• О. Крупкова: «Lineární algebra 1» (PDF, чеською)
• Петр Ольшак: «Lineární algebra» (чеською)