Ранг матриці

Ранг матриці — це число, що дорівнює кількості незалежних рядків або стовпців матриці.

Означення

Ранг матриці — це максимальна кількість лінійно незалежних рядків/стовпців у матриці. Нульова матриця має ранг нуль, будь-яка інша матриця має ранг щонайменше один. Матриця типу m× n може мати ранг щонайбільше min(m, n). Тобто якщо матриця має менше рядків, ніж стовпців, то ранг матриці не перевищуватиме кількості рядків. Аналогічно для стовпців.

Ранг матриці зазвичай позначаємо англійським словом «rank». Тоді пишемо $\operatorname{rank}(A)=x$.

Як обчислити ранг

Тепер про те, як обчислюють ранг матриці. Це досить просто. Треба перетворити матрицю до такого вигляду, з якого вже буде чітко видно, які рядки лінійно незалежні. Найчастіше це роблять так: матрицю зводять до ступінчастого вигляду (під діагоналлю самі нулі), і тоді вже видно, що з нею відбувається. Швидко до прикладу — маємо таку матрицю:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&1&-1\\1&3&3\end{array}\right)$$

І треба знайти її ранг. Тепер треба зауважити одну дрібницю. Якщо маємо два рядки, повні чисел, відмінних від нуля, то теоретично вони можуть бути лінійно залежними. Нам довелося б це обчислювати. Але якщо в одному з цих рядків на якомусь місці стоїть нуль, а в другому рядку на тому самому місці нуля немає, то можемо впевнено стверджувати, що вони незалежні. Адже ми не знайдемо жодного числа, на яке можна було б помножити той нуль (а отже, і весь рядок), щоб отримати там те саме число, що стоїть у другому рядку. Тому ми завжди намагатимемося зводити матриці до ступінчастого вигляду, щоб ті нулі там з'явилися.

Попередній абзац можна записати так. Якщо α₁, α₂≠0, то:

$$ \alpha_1\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix}0&2&3\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}0&a&b\end{pmatrix} $$

Тому ми й намагаємося привести матрицю до подібного вигляду, щоб легко бачити залежності. Подивися на приклад:

$$ \begin{pmatrix} 4&-5&1\\ 0&7&2\\ 0&0&3 \end{pmatrix} $$

Це матриця у ступінчастому вигляді, жоден рядок не є лінійно залежним. Ти не можеш виразити третій рядок через перші два, бо якщо коефіцієнти альфа ненульові, то на перших місцях завжди залишиться якесь ненульове число.

Процес зазвичай такий: спочатку отримуємо нулі в першому стовпці (крім першого рядка). Потім перетворюємо матрицю далі, щоб отримати нулі в другому стовпці, потім у третьому тощо, аж доки зрештою не матимемо ступінчастого вигляду. Рахуємо ненульові рядки — і ось ранг матриці. Можна застосовувати такі перетворення, не змінюючи рангу матриці:

• Поміняти місцями будь-які два рядки.
• Помножити рядок на будь-який ненульовий вираз.
• Додати один рядок до другого.
• Усі попередні перетворення можна застосовувати й до стовпців.

Приклад

У нашій попередній матриці перетворення виконуватимемо так: подивимося, який зв'язок між елементами a₁₁ і a₂₁. Бачимо, що вони однакові, тож щоб на місці a₂₁ отримати нуль, треба додати перший рядок, помножений на −1. Додамо до другого рядка перший, помножений на −1 (тобто віднімемо від другого рядка перший):

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-2\\1&3&3\end{array}\right)$$

Тепер маємо нуль там, де хотіли. Далі ще треба отримати нуль на позиції a₃₁. Там знову одиниця, тож просто віднімемо перший рядок:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-2\\0&1&2\end{array}\right)$$

Тепер у першому стовпці маємо нулі, тож із задоволенням беремося за другий стовпець. Бачимо, що числа a₂₂ і a₃₂ протилежні, тому достатньо додати рядки:

$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&-2\\0&0&0\end{array}\right)$$

І ми отримали один нульовий рядок. Перетворення завершено, ми дійшли до ступінчастого вигляду. Тепер лишається порахувати ненульові рядки — і маємо ранг. Він дорівнює $\operatorname{rank} A = 2$. Ця матриця мала ранг два.

Другий приклад

Тепер спробуємо обчислити ранг трохи більшої матриці:

$$\left(\begin{array}{cccc}7&2&5&1\\1&3&5&-7\\4&-5&1&0\\2&8&10&-9\end{array}\right)$$

Ранг матриці — це максимальна кількість лінійно незалежних рядків, тож у матриці можна довільно переставляти рядки. Тут стало б у пригоді мати рядок з одиницею на початку нагорі, щоб легше рахувати. Тому без жодних побоювань можемо поміняти місцями перший і другий рядки:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\7&2&5&1\\4&-5&1&0\\2&8&10&-9\end{array}\right)$$

Тепер діятимемо так само, як у попередньому прикладі. У першому стовпці мають бути самі нулі (звісно, крім першого рядка), тож до другого рядка додамо перший, помножений на −7, до третього — перший, помножений на −4, а до останнього — перший, помножений на −2. Перший рядок залишається без змін:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&-19&-30&50\\0&-17&-19&28\\0&2&0&5\end{array}\right)$$

Знову поміняємо рядки: цього разу останній рядок треба поставити замість другого через двійку на другій позиції. Поміняємо місцями другий і четвертий рядки:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&2&0&5\\0&-17&-19&28\\0&-19&-30&50\end{array}\right)$$

Але бачимо, що під двійкою стоять числа −17 і −19. Жодне з них не ділиться на два, а це незручно, навіть неприємно. Тому тепер третій і четвертий рядки помножимо на два:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&2&0&5\\0&-34&-38&56\\0&-38&-60&100\end{array}\right)$$

Тепер можемо продовжувати перетворення, намагаючись занулити другий стовпець. До третього рядка додамо другий, помножений на 17, а до четвертого — другий, помножений на 19:

$$\left(\begin{array}{cccc}1&3&5&-7\\0&2&0&5\\0&0&-38&141\\0&0&-60&195\end{array}\right)$$

Ну, тепер ми отримали досить незручні для подальшого перетворення числа, але якось упораємося. Поділимо третій рядок на −38:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&5&-7\\ 0&2&0&5\\ 0&0&1&-141/38\\ 0&0&-60&195 \end{pmatrix} $$

А тепер помножимо третій рядок на 60 і додамо до четвертого рядка:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&5&-7\\ 0&2&0&5\\ 0&0&1&-141/38\\ 0&0&0&195-\frac{60\cdot141}{38} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&5&-7\\ 0&2&0&5\\ 0&0&1&-141/38\\ 0&0&0&-\frac{525}{19} \end{pmatrix} $$

Вийшло некрасиве, але ненульове число. Отже, матриця має ранг чотири, вона не містить жодного лінійно залежного рядка.

Приклад з параметром

Який ранг матриці A залежно від параметра q?

$$ A=\begin{pmatrix} 1&8&17\\ q&5&8\\ 4&1&3 \end{pmatrix} $$

Це трохи складніша задача, бо тут є параметр q. Треба з'ясувати, за яких значень q матриця має максимальний ранг, якщо взагалі має, а за яких — менший. Діятимемо класично, лише подекуди замість конкретних значень працюватимемо з абстрактним q. Першим кроком переміщуємо параметр q на якесь зручніше місце, а саме в правий нижній кут. Для цього міняємо місцями другий рядок із третім, а потім перший стовпець з останнім:

$$ \begin{pmatrix} 1&8&17\\ q&5&8\\ 4&1&3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&8&17\\ 4&1&3\\ q&5&8 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 17&8&1\\ 3&1&4\\ 8&5&q \end{pmatrix} $$

Тепер параметр стоїть у зручному місці, де він не заважатиме. Проте в першому стовпці маємо досить незручні числа, зате посередині є одиниця: перемістимо її вгору ліворуч, тобто поміняємо місцями перший і другий рядки та перший і другий стовпці:

$$ \begin{pmatrix} 17&8&1\\ 3&1&4\\ 8&5&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3&1&4\\ 17&8&1\\ 8&5&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 8&17&1\\ 5&8&q \end{pmatrix} $$

Тепер матриця вийшла гарна. Помножимо перший рядок на −8 і додамо до другого рядка:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 8&17&1\\ 5&8&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 5&8&q \end{pmatrix} $$

Помножимо перший рядок на −5 і додамо до третього рядка:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 5&8&q \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 0&-7&q-20 \end{pmatrix} $$

Чудово, перший стовпець маємо таким, як потрібно. Тепер додамо до третього рядка другий, помножений на −1:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 0&-7&q-20 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&4\\ 0&-7&-31\\ 0&0&q+11 \end{pmatrix} $$

І перетворення матриці закінчено. Бачимо, що перший і другий рядки напевно лінійно незалежні. Лінійно залежним може бути третій рядок. Рядок буде лінійно залежним, якщо він цілком нульовий, тобто якщо параметр q вибрати так, щоб вираз q + 11 дорівнював нулю. Очевидно, що для q = −11 рядок нульовий, а отже, лінійно залежний.

Остаточний висновок: для q = −11 матриця має ранг два, в усіх інших випадках — ранг три.