Визначники

У лінійній алгебрі визначник — це відображення, яке кожній квадратній матриці A ставить у відповідність скаляр, що його позначаємо |A|. Для числових матриць визначник дорівнює деякому дійсному числу.

Перестановка впорядкованого набору

Щоб дати означення визначника, нам потрібно вміти обчислювати перестановку впорядкованого набору, точніше — знак перестановки. Найкраще пояснити це на прикладі. Нехай маємо впорядковану трійку <1, 2, 3>, яка відображається на трійку <2, 3, 1>. Для перестановок це зазвичай записують так:

$$ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix} $$

Тепер треба з'ясувати, скільки різних обмінів чисел довелося зробити, щоб з першої множини отримати другу. При цьому міняти місцями можна лише сусідні числа. Отже, маємо трійку <1, 2, 3>. Тепер міняємо місцями одиницю з двійкою: <2, 1, 3>. Далі міняємо одиницю з трійкою: <2, 3, 1> — і ось ми вже отримали шукану перестановку. Щоб одержати образ, нам знадобилося два обміни. Знак перестановки визначити просто — якщо кількість обмінів парна, знак додатний. Якщо кількість непарна, знак від'ємний. У нашому випадку знак перестановки, отже, додатний. Спробуймо ще визначити знак перестановки на такому прикладі:

$$ \begin{pmatrix} 4&2&3&1\\1&3&4&2 \end{pmatrix} $$

Діятимемо так:

$$\left<4, 2, 3, 1\right> \rightarrow \left<4, 2, 1, 3\right> \rightarrow \left<4, 1, 2, 3\right> \rightarrow \left<1, 4, 2, 3\right> \rightarrow \left<1, 4, 3, 2\right> \rightarrow \left<1, 3, 4, 2\right>$$

Перетворення завершено. Нам знадобилося загалом п'ять обмінів, тож цього разу ми отримали перестановку з непарним знаком.

Знак перестановки позначаємо за допомогою символу Леві-Чивіти:

$$ \epsilon_{i_1,…,i_n}= \begin{cases} +1 & \mbox{якщо }(i_1, i_2, …, i_n) \mbox{ є парною перестановкою } (1{,}2,3{,}4,…, n) \\ -1 & \mbox{якщо }(i_1, i_2, …, i_n) \mbox{ є непарною перестановкою } (1{,}2,3{,}4,…, n) \\ 0 & \mbox{інакше} \end{cases}$$

Означення визначника

Визначник — це число; він означений лише для квадратних матриць і записується як $\det A$ або |A|. Це число визначається так:

$$|A|=\sum_{i_1,\ldots,i_n}^n\epsilon_{i_1,\ldots,i_n}a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \ldots \cdot a_{ni_n}$$

Спробуймо обчислити визначник квадратної матриці порядку 2×2:

$$A= \begin{pmatrix} 4&2\\ 1&3 \end{pmatrix} $$

Якщо підставити в означення конкретне значення n = 2, отримаємо таку формулу:

$$|A|=\sum_{i_1, i_2}^2\epsilon_{i_1, i_2} \cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

Замість i₁ та i₂ послідовно підставимо значення 1 і 2. Отримаємо всього чотири можливості: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

У випадках a) і d) маємо нульову перестановку, бо ε_1,1 = 0 і ε_2,2 = 0. Отже, у сумі з формули на цьому кроці отримаємо нуль, адже $0 \cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=0$.

Лишаються можливості b) і c). У випадку b) i₁ = 1, i₂ = 2 маємо: ε_1,2 = 1, бо <1, 2> є парною перестановкою <1, 2>. Отримуємо перший доданок:

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2} = 1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot3=12$$

В решті випадку маємо i₁ = 2, i₂ = 1. Значення ε_2,1 дорівнює −1. Отримуємо другий доданок:

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2} = -1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot2\cdot1=-2$$

Тепер додамо всі чотири випадки a) + b) + c) + d) і отримаємо

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

Визначник матриці A дорівнює десяти.

Можна помітити, що врешті-решт ми обчислили визначник матриці як різницю

$$|A|=a_{11} \cdot a_{22} - a_{12}\cdot a_{21}$$

Ця формула загалом правильна для будь-якої матриці порядку 2×2.

Правило Саррюса

За допомогою правила Саррюса обчислюємо визначник матриці третього порядку. Цей визначник уже трохи складніший. Отже, обчислімо, наприклад, таку матрицю:

$$A=\begin{pmatrix}5&3&2\\1&7&-8\\0&-2&7\end{pmatrix}$$

Тепер діятимемо подібно до матриці другого порядку, але для наочності розширимо цю матрицю ще двома рядками — під матрицею допишемо її перші два рядки:

$$A'=\begin{pmatrix}5&3&2\\1&7&-8\\0&-2&7\\5&3&2\\1&7&-8\end{pmatrix}$$

Перший і четвертий рядки матриці тепер однакові, так само другий і п'ятий. Далі додамо добутки елементів на головних діагоналях і віднімемо від них суму добутків елементів на побічних діагоналях. Після підстановки отримаємо:

$$|A|=[5 \cdot 7 \cdot 7 + 1 \cdot (-2) \cdot 2 + 0 \cdot 3 \cdot (-8)] - [2 \cdot 7 \cdot 0 + (-8) \cdot (-2) \cdot 5 + 7 \cdot 3 \cdot 1]=140$$

Властивості визначника

• Якщо помножити рядок або стовпець матриці A на число c ≠ 0, отримаємо матрицю A', і для їхніх визначників виконуватиметься: c|A| = |A'|. Тобто якщо ти помножиш рядок матриці на три й обчислиш визначник, то визначник початкової матриці отримаєш, поділивши цей результат на три.

• Якщо помножити i-й рядок на число й додати його до j-го рядка, визначник матриці не зміниться. Те саме й для стовпців.

• Якщо хоча б один рядок матриці нульовий, визначник матриці дорівнює нулю.

• Невироджена матриця завжди має визначник, відмінний від нуля, а вироджена матриця завжди має визначник, що дорівнює нулю.

• Визначник матриці у ступінчастому вигляді дорівнює добутку елементів на головній діагоналі.

• Якщо поміняти місцями два рядки матриці, знак визначника зміниться.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

З попередніх властивостей випливає досить простий спосіб обчислення визначника. Достатньо звести матрицю до ступінчастого вигляду, а потім перемножити елементи на головній діагоналі. Беремося до діла:

$$ A=\begin{pmatrix} 1&3&8\\2&5&0\\-2&2&5 \end{pmatrix} $$

Стандартними матричними перетвореннями зведемо матрицю до ступінчастого вигляду:

$$ \begin{pmatrix} 1&3&8\\2&5&0\\-2&2&5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&8\\0&-1&-16\\0&8&21 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&3&8\\0&-1&-16\\0&0&-107 \end{pmatrix} $$

Тепер знайдемо добуток елементів на діагоналі: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Обчисліть визначник цієї матриці:

$$A=\begin{pmatrix} 3&2&1&5\\2&7&5&6\\6&4&1&0\\4&-3&1&1 \end{pmatrix} $$

Спочатку доцільно поміняти місцями перший і другий рядки, щоб угору потрапило найменше число. Але не можна забути змінити знак:

$$ \left|\begin{matrix}3&2&1&5\\2&7&5&6\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| = -\left|\begin{matrix}2&7&5&6\\3&2&1&5\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| $$

Далі буде досить зручно помножити другий рядок на два, щоб було зручно додавати. Увесь визначник при цьому не можна забути помножити на одну другу:

$$ -\left|\begin{matrix}2&7&5&6\\3&2&1&5\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| = -\frac12 \left|\begin{matrix}2&7&5&6\\6&4&2&10\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| $$

А тепер діємо вже за звичною схемою:

$$\begin{eqnarray} -\frac12 \left|\begin{matrix}2&7&5&6\\6&4&2&10\\6&4&1&0\\4&-3&1&1\end{matrix}\right| &=& -\frac12 \left| \begin{matrix}2&7&5&6\\0&-17&-13&-8\\0&-17&-14&-18\\0&-17&-9&-11\end{matrix}\right| \\ &=& -\frac12 \left| \begin{matrix}2&7&5&6\\0&-17&-13&-8\\0&0&-1&-10\\0&0&4&-3\end{matrix}\right|\\ &=& -\frac12 \left|\begin{matrix}2&7&5&6\\0&-17&-13&-8\\0&0&-1&-10\\0&0&0&-43\end{matrix}\right|\\ &=& -\frac12 \cdot 2 \cdot (-17) \cdot (-1) \cdot (-43) = 731 \end{eqnarray}$$

Розклад Лапласа

Лаплас — це один добрий пан, який вигадав ще один алгоритм обчислення визначників матриці. Щоб зрозуміти цей «рецепт», потрібно вміти будувати особливу підматрицю початкової матриці. Маємо матрицю A і хочемо створити підматрицю, яка виникає так, що з матриці A вилучаємо один рядок і один стовпець. Цю нову матрицю позначимо S^A_ij, що означає: з матриці A ми вилучили i-й рядок і j-й стовпець. Приклад:

$$ A=\begin{pmatrix} 1&3&8\\2&5&0\\-2&2&5 \end{pmatrix} $$

Підматриця S^A₁₂ матиме такий вигляд:

$$ S^A_{12}=\begin{pmatrix} 2&0\\-2&5 \end{pmatrix} $$

Далі введемо поняття мінора — це не що інше, як визначник означеної нами підматриці S^A_ij. Мінор позначаємо так само, лише літерою M, тобто $M^A_{ij}=|S^A_{ij}|$. Можна говорити й про мінор елемента a_ij — це якраз M^A_ij.

За допомогою цих мінорів можна обчислити визначник початкової матриці. На першому кроці обираємо рядок (або стовпець) матриці. Потім для кожного елемента цього рядка обчислюємо його мінор. Отримаємо стільки мінорів, скільки елементів у рядку. Тепер визначник початкової матриці A типу n × n можна виразити як зважену суму цих мінорів:

$$|A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot M^A_{ij}$$

де i — обраний нами рядок. Якщо ми перебиратимемо змінну i, то змінну j — індекс стовпця — треба буде зафіксувати.

На практиці це виглядає так: маєш матрицю й хочеш знати її визначник. Береш один стовпець матриці (або рядок), до кожного елемента цього стовпця знаходиш мінор, приписуєш знак (−1)^{i + j} і все додаєш, причому кожен визначник множиш на елемент, мінором якого є ця матриця. Оскільки мінор M^A_ij ми ще множимо на елемент a_ij, зручно, коли цей елемент дорівнює нулю. Тоді решта обчислень відпадає, і ти заощаджуєш працю. Спробуймо обчислити визначник такої матриці:

$$A=\begin{pmatrix}5&4&8\\6&1&0\\2&3&9\end{pmatrix}$$

У матриці є лише один нуль, тож найкраще виконати розклад або за другим рядком, або за третім стовпцем. Оберемо, наприклад, рядок. На першому кроці виділимо підматриці:

$$\begin{eqnarray} S^A_{21}&=&\begin{pmatrix}4&8\\3&9\end{pmatrix}\\ S^A_{22}&=&\begin{pmatrix}5&8\\2&9\end{pmatrix}\\ S^A_{23}&=&\begin{pmatrix}5&4\\2&3\end{pmatrix}\\ \end{eqnarray}$$

Тепер обчислимо визначники, і так отримаємо мінори. Для матриці другого порядку це тривіально.

$$\begin{eqnarray} M^A_{21}&=&\left|\begin{matrix}4&8\\3&9\end{matrix}\right|=12\\ M^A_{22}&=&\left|\begin{matrix}5&8\\2&9\end{matrix}\right|=29\\ M^A_{23}&=&\left|\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right|=7\\ \end{eqnarray}$$

Тепер можемо підставити це у формулу, i = 2:

$$\begin{eqnarray} |A|&=&(-1)^{2+1} \cdot 6 \cdot \left|\begin{matrix}4&8\\3&9\end{matrix}\right| + (-1)^{2+2}\cdot1\cdot\left|\begin{matrix}5&8\\2&9\end{matrix}\right|+(-1)^{2+3}\cdot\left|\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right|\cdot0\\ &=&(-1)^{2+1} \cdot 6 \cdot 12 + (-1)^{2+2}\cdot1\cdot29+(-1)^{2+3}\cdot7\cdot0=-43 \end{eqnarray}$$

Зверни увагу: оскільки елемент у кінці другого рядка нульовий, то й третій доданок дорівнював нулю. Ще один приклад:

Обчисліть визначник цієї матриці методом Лапласа:

$$A=\begin{pmatrix}7&2&3&2\\6&6&6&7\\8&10&9&10\\5&7&3&3\end{pmatrix}$$

У третьому стовпчику маємо самі кратні трьом числа, це можна використати й занулити цей стовпець, щоб підготувати ґрунт для подальшого застосування методу Лапласа. Тож до другого рядка додамо перший рядок, помножений на −2, до третього — перший, помножений на −3, а до четвертого — перший, помножений на −1.

$$ \begin{pmatrix}7&2&3&2\\6&6&6&7\\8&10&9&10\\5&7&3&3\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}7&2&3&2\\-8&2&0&3\\-13&4&0&4\\-2&5&0&1\end{pmatrix} $$

Значення визначника ми не змінили, але рахувати стане легше. Виконаємо розклад за третім стовпцем, де є лише один ненульовий елемент, тож у розкладі залишиться тільки мінор третього елемента першого рядка:

$$ \left|\begin{matrix}7&2&3&2\\6&6&6&7\\8&10&9&10\\5&7&3&3\end{matrix}\right| (-1)^{1+3}\cdot3\left|\begin{matrix}-8&2&3\\-13&4&4\\-2&5&1\end{matrix}\right| 3\left|\begin{matrix}-8&2&3\\-13&4&4\\-2&5&1\end{matrix}\right| $$

У третьому стовпчику нової матриці в самому кінці бачимо одиницю, що легко використати, і занулимо цей стовпець:

$$ \begin{pmatrix} -8&2&3\\-13&4&4\\-2&5&1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -2&-13&0\\-5&-16&0\\-2&5&1 \end{pmatrix} $$

Тепер виконаємо розклад за третім стовпцем. Знову є лише один ненульовий елемент:

$$ 3\left|\begin{matrix}-2&-13&0\\-5&-16&0\\-2&5&1\end{matrix}\right| 3\cdot\left((-1)^{3+3}\cdot1\cdot\left|\begin{matrix}-2&-13\\-5&-16\end{matrix}\right|\right) 3\cdot\left|\begin{matrix}-2&-13\\-5&-16\end{matrix}\right| $$

А це вже можна обчислити звичайним способом: 3 · (32 − 65) = −99.