✖

Поля

Щоб зрозуміти подальший виклад, не потрібні жодні особливі математичні вміння чи знання. Досить розуміти найпростіші основи шкільної математики й мати бажання дізнатися або навчитися чогось нового.

Страшилка на ім'я алгебраїчне поле

Якщо вже сама назва «алгебраїчне поле» лякає тебе, знай: насправді нема чого боятися. Таке поле — річ дуже проста, якщо подивитися на нього з правильного боку.

Алгебраїчне поле — це будь-яка довільна множина разом із двома бінарними операціями, які задовольняють певні умови. Ото й усе. Нічого більше й нічого менше. Як бачиш, нічого небезпечного чи моторошного. А щойно ми це знаємо, можемо без страху придивитися до нього трохи ближче.

Множина елементів поля

Нашу довільну множину позначимо T, а її елементи називатимемо елементами поля. Повір, множина елементів поля може бути зовсім довільною. Це може бути множина всіх парних чисел, множина всіх шкарпеток, до яких немає пари, або навіть твоя колекція плюшевих слоників. Єдина умова, мабуть, така: множина T не може бути порожньою. Інакше нам було б не дуже цікаво.

Бінарна операція

Якщо тобі не одразу зрозуміло, що таке ця бінарна операція, уяви її як маленький млинок. Ти кладеш у нього два (звідси «бінарна» в назві) елементи якоїсь множини, легенько крутиш ручку — і з нього випадає ще один елемент твоєї множини. Гарна бінарна операція — наприклад, ділення. Цікаво, скільки буде 10 : 5? Візьми бінарну операцію ділення (млинок), де твоя множина — множина дійсних чисел. Спершу засип у млинок десятку, потім п'ятірку, покрути ручку — і, о диво, випаде двійка.

Наші дві операції ми назвемо додаванням і множенням та позначатимемо $\oplus$ і $\otimes$. Не дай назві ввести тебе в оману. З додаванням і множенням, які ми звично використовуємо, ці операції можуть мати небагато спільного. Річ у тім, що елементами поля можуть бути будь-які об'єкти. А до плюшевих слоників чи шкарпеток «наше» додавання й множення застосувати не можна.

Операції в полі

Операції $\oplus$ і $\otimes$ мають задовольняти певні умови. Ми не можемо запровадити їх зовсім довільно. Адже сенс цих операцій — узагальнити звичайне додавання й множення, які ми застосовуємо до чисел. Ми хочемо, щоб їх можна було запровадити так, аби застосовувати до елементів поля, які, як ми вже знаємо, можуть бути зовсім довільними об'єктами, а не лише числами. І все ж хочемо, щоб операції $\oplus$ і $\otimes$ зберігали певний основний сенс додавання й множення. Цього ми досягнемо, запровадивши десять умов, які ці операції мають задовольняти, щоб наша структура була полем. Ці умови називатимемо аксіомами поля. Ось вони:

  1. Комутативність додавання — для будь-яких двох елементів a, b поля T має виконуватися $a \oplus b = b \oplus a$.
  • Асоціативність додавання — для будь-яких трьох елементів a, b, c поля T має виконуватися $(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$.
  • Існування нульового елемента — у полі T має існувати елемент, позначимо його 0 (увага, не плутай із числом 0), який має таку властивість: для будь-якого елемента a поля T виконується $a \oplus 0 = a$.
  • Існування протилежного елемента — для кожного елемента a поля T має існувати елемент поля T, позначимо його -a, який має таку властивість: $a \oplus -a = 0$.
  • Комутативність множення — для будь-яких двох елементів a, b поля T має виконуватися $a \otimes b = b \otimes a$.
  • Асоціативність множення — для будь-яких трьох елементів a, b, c поля T має виконуватися $(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$.
  • Існування одиничного елемента — у полі T має існувати елемент, позначимо його 1 (увага, не плутай із числом 1), який має таку властивість: для будь-якого елемента a поля T виконується $a \otimes 1 = a$.
  • Існування оберненого елемента — для кожного елемента a поля T, відмінного від 0, має існувати елемент поля T, позначимо його a−1, який має таку властивість: $a \otimes a^{-1} = 1$.
  • Дистрибутивність — для будь-яких трьох елементів a, b, c поля T має виконуватися $a \otimes ( b \oplus c ) = ( a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$.
  • Нетривіальність — нульовий і одиничний елементи не можуть збігатися. Тобто $0 \neq 1$.

Для тих, хто хоче потренуватися в математичному формалізмі, тут записано аксіоми поля так, як їх пишуть мовою математиків.

  1. $ \forall a,b \in T \quad a \oplus b = b \oplus a$
  • $ \forall a,b,c \in T \quad (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$
  • $ \exists 0 \in T : \forall a \in T \quad a \oplus 0 = a$
  • $ \forall a \in T : \exists -a \in T \quad a \oplus -a = 0$
  • $ \forall a,b \in T \quad a \otimes b = b \otimes a$
  • $ \forall a,b,c \in T \quad (a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$
  • $ \exists 1 \in T : \forall a \in T \quad a \otimes 1 = a$
  • $ \forall a \in T : \exists a^{-1} \in T, a \neq 0 \quad a \otimes a^{-1} = 1$
  • $ \forall a,b,c \in T \quad a \otimes ( b \oplus c ) = ( a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$
  • $0 \neq 1$

Тепер ти, мабуть, думаєш, що аксіом страшенно багато. Але всі вони легко зрозумілі, якщо усвідомити, що вони означають. Перші чотири описують звичні властивості додавання, а наступні чотири — звичні властивості множення, до того ж дуже схожі на перші чотири. Дев'ята аксіома каже, як пов'язані між собою додавання й множення. І лише десята — радше технічна: вона гарантує, що поле не матиме якихось дивних властивостей.

Зверни увагу, як гарно ми обійшлися без запровадження віднімання й ділення. Ці операції вводяться через додавання протилежного елемента й множення на обернений елемент. Тобто, наприклад, 4 − 2 — це лише скорочений запис для 4 + (−2), а 4 : 2 — лише скорочений запис для 4 · 2−1.

Огляд полів

Тепер ми формально запровадили поняття алгебраїчного поля. Якщо хочемо інтуїтивно висловити, що таке поле, можна сказати: це структура, яка дає змогу додавати, віднімати, множити й ділити довільні об'єкти, для яких ми можемо означити ці операції, причому способом, схожим на той, яким виконуємо ці операції в елементарній арифметиці.

Наше перше поле

Коли ми так гарно вигадали й описали поля, давай побудуємо якесь справжнє поле. Спершу виберемо множину елементів поля. Поки що не будемо надто експериментувати з плюшевими слониками чи шкарпетками, а за елементи поля візьмемо цілі невід'ємні числа. Щоб усе було справді просто, візьмемо лише числа 0, 1, 2, 3, 4. Тобто наша множина T матиме такий вигляд:

$$T = \left\{0, 1, 2, 3, 4\right\}$$

Тепер залишилося лише вдало означити операції $\oplus$ і $\otimes$. Тут нам допоможуть додавання й множення, які ми вже знаємо з арифметики. Трохи змінимо їх, щоб вони працювали і на нашому полі.

  • Операція $\oplus$ Суму двох елементів $a \oplus b$ знаходимо так: обчислюємо остачу від ділення на п'ять суми a + b. Отже, додавання в нашому полі матиме такий вигляд: $ 1 \oplus 1 = 2 \qquad 1 \oplus 3 = 4 \qquad 2 \oplus 3 = 0 \qquad 4 \oplus 2 = 1$ тощо.
  • Операція $\otimes$ Добуток двох елементів $a \otimes b$ знаходимо так: обчислюємо остачу від ділення на п'ять добутку ab. Отже, множення в нашому полі матиме такий вигляд: $ 1 \otimes 1 = 1 \qquad 2 \otimes 2 = 4 \qquad 2 \otimes 3 = 1 \qquad 4 \otimes 2 = 3 \qquad$ тощо.

Ось і все. Тепер у нас є повноцінне поле. Залишилося перевірити виконання всіх аксіом, щоб бути певними, що ми справді побудували поле, а не якийсь покруч.

  • Комутативність і асоціативність додавання та множення ти напевно можеш перевірити самостійно, так само як і дистрибутивність.
  • З того, як ми означили додавання й множення, також випливає, що існують нульовий елемент (у нашому випадку це якраз число 0) та одиничний елемент (у нашому випадку 1), які різні між собою.
  • Тепер залишається перевірити лише існування протилежного й оберненого елементів. Усі, напевно, бачать, що до кожного числа з множини {0, 1, 2, 3, 4} існує число з тієї самої множини, сума з яким дорівнює нулю або п'яти (тобто в нашому полі — нулю).
  • Аналогічно і для множення: до кожного ненульового числа цієї множини існує число, добуток з яким дає при діленні на п'ять остачу 1 (тобто в нашому полі — одиницю). Наприклад, число 4 має обернений елемент 4, бо 4 · 4 = 16, а при діленні на 5 маємо остачу 1. Спробуй знайти решту обернених елементів!

Приклади інших полів

Щойно ми побудували поле, що має п'ять елементів. Виявляється, так само можна побудувати й інші поля, у яких кількість елементів — просте число. Такі поля називають полями лишків (залишків) і позначають Zp, де p — кількість елементів поля. Їх дуже часто використовують і в математиці та інформатиці, і, звісно, в різних задачах контрольних робіт.

Чи можна побудувати поля з кількістю елементів, що не є простим числом? Так, можна, але вже не таким способом, як щойно показано. Чому? Уяви поле, побудоване описаним вище способом, що має лише чотири елементи. У такому полі виконується $2 \otimes 2 = 0$. Тобто добуток двох ненульових чисел дорівнює нулю. У полі цього бути не може. Прямо в аксіомах поля це не заборонено, але з них це досить легко вивести. Проте виявляється, що якщо замість чисел як елементи поля взяти многочлени, можна побудувати й поля, кількість елементів яких — степінь простого числа. Отже, поле з чотирма елементами існує, адже чотири — це степінь двійки.

Звичайно, існують і поля з нескінченною кількістю елементів. Так, множина дійсних чисел разом зі звичними операціями додавання й множення теж утворює поле. Це, звісно, стосується не лише дійсних чисел, а й раціональних та комплексних. Натуральні й цілі числа поля не утворюють, бо в них немає протилежних, відповідно обернених елементів.

А найкраще — наприкінці. Ніхто, звісно, не приписує нам, що поля мусять складатися з чисел, многочленів чи взагалі якихось математичних об'єктів. Як уже сказано, можна створити поле зі шкарпеток, плюшевих слоників тощо. Єдина проблема, мабуть, у тому, як означити додавання й множення на слониках. Цікаво, що тобі ніколи не вдасться створити поле, яке містить шість шкарпеток, бо шістка не є ні простим числом, ні степенем простого числа. Але цілком можна створити поле з сімнадцяти шкарпеток, пронумерувати кожну з них (біла шкарпетка буде 0, чорна 1, зелена 2 тощо) і додавати їх так само, як ми додавали в полі лишків.

А навіщо все це?

Якщо ти дочитуєш ці рядки, можливо, питаєш себе: навіщо нам, зрештою, така божевільна структура, як алгебраїчне поле? Що ж, поля дуже важливі — і з теоретичного погляду, бо вони описують і, головне, узагальнюють те, що можна назвати обчисленням, тобто арифметику, — і з практичного, бо багато математичних та інформатичних задач розв'язується легше, якщо уявити їх як обчислення в полях. Скінченні поля мають, наприклад, велике значення для кодів на CD- чи DVD-дисках. А щодо самої лінійної алгебри, поля — це наріжний камінь для інших, складніших і тому значно корисніших та цікавіших структур, наприклад, векторних просторів. Вони якраз і становлять основу всієї лінійної алгебри.

Автор цієї статті — Lishaak.

Автор цієї статті — Lishaak.