Матриці
Матриця над полем P — це відображення $\left\{1, 2, \ldots, n\right\} \times \left\{1, 2, \ldots, m\right\} \rightarrow P$. Матрицю зазвичай позначають великими друкованими літерами: A = (…). А тепер простими словами.
Основні поняття
Матриця — це просто таблиця з n стовпців і m рядків, причому таке позначення рядків і стовпців не завжди однакове, тож зверни на це увагу. У кожній клітинці таблиці стоїть якесь число або інший вираз. Матриця не обов'язково має бути суто числовою, хоча на початку на інші матриці ти, ймовірно, не натрапиш. Отже, який вигляд може мати матриця:
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&51\end{array}\right)$$
Ця матриця має два рядки і три стовпці. Елементи матриці позначають за допомогою індексів, і замість великої літери вживають малу: a11 = 0 або a23 = 51. Перший індекс указує рядок, а другий — стовпець.
Спеціальні типи матриць
Матриці можуть мати різні властивості, а деякі спеціальні матриці мають навіть власні назви.
Квадратна матриця — це матриця, яка має стільки ж рядків, скільки й стовпців. Якщо матриця не квадратна, вона прямокутна. Приклад квадратної матриці:
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right)$$
Нульова матриця — це матриця, яка на всіх позиціях має нулі. aij = 0.
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)$$
Одинична матриця — це квадратна матриця, яка на головній діагоналі має одиниці, а в усіх інших місцях — нулі. Головна діагональ — це ніби «діагональ» зліва направо. Коротко, це числа на позиціях, де i = j.
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)$$
Ступінчаста матриця — це матриця, яка має нульові рядки в кінці (або не має жодного нульового рядка), і кожен ненульовий рядок починається з більшої кількості нулів, ніж попередній. Усе це ступінчасті матриці:
$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&\pi\\0&0&1\end{array}\right), \quad A_2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right),\quad A_3=\left( \begin{array}{ccccc} 1& 1& 1& 1& 8\\ 0& 0& 0& 5& 1\\ 0 &0& 0& 0 &5 \end{array}\right)$$
Транспонована матриця до матриці A — це матриця AT, для якої виконується $a_{ij} = a^T_{ji}$, тобто елемент, що стояв в i-му рядку та j-му стовпці, у транспонованій матриці стоятиме в j-му рядку та i-му стовпці. Коротко кажучи, ти міняєш рядки матриці на стовпці.
$$\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right)^T &=& \left(\begin{array}{ccc}0&8&47\\1&5&154\\5&23&2\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{ccc}3&4&5\\6&7&8\end{array}\right)^T&=&\left(\begin{array}{cc}3&6\\4&7\\5&8\end{array}\right) \end{eqnarray}$$
Симетрична матриця — це квадратна матриця A, яка задовольняє рівність A = AT. Елементи, симетричні відносно діагоналі, однакові. Отже, можна записати, що $a_{ij}=a_{ji}$.
$$A=\left(\begin{array}{ccc}9&3&4\\3&7&0\\4&0&2\end{array}\right)$$
Антисиметрична матриця — це майже те саме, що симетрична, тільки елементи з другого боку мають протилежний знак: A = −AT. Через це елементи на головній діагоналі мусять бути нульовими, бо a = −a = 0.
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&-3&-4\\3&0&5\\4&-5&0\end{array}\right)$$
Діагональна матриця — це матриця, яка має нулі скрізь, крім головної діагоналі. Точніше, в усіх інших місцях мають бути нулі, а що стоїть на головній діагоналі, не вказано.
$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}9&0&0\\0&7&0\\0&0&2\end{array}\right), \quad A_2=\left(\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)$$
Основні операції з матрицями
Матриці можна додавати, можна множити на якесь число, а також можна множити матриці між собою.
Додавання матриць доволі інтуїтивне. Якщо матриці однакового типу (= однакова кількість стовпців і рядків), то отримана матриця матиме на тих самих позиціях суми чисел з відповідних позицій попередніх матриць. Тобто якщо додаємо матриці A + B = C, то виконується $a_{ij} + b_{ij} = c_{ij}$.
$$\left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}5&4&3\\10&20&30\\7&-54&-12\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}5&5&8\\18&25&53\\54&100&-10\end{array}\right)$$
Додавання матриць, очевидно, комутативне та асоціативне. A + B = B + A і A + (B + C) = (A + B) + C.
Множення матриці на число теж інтуїтивне. Береш число і множиш на нього кожен елемент матриці, більше нічого. k · A = k · aij.
$$5\cdot \left(\begin{array}{ccc}0&1&5\\8&5&23\\47&154&2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}0&5&25\\40&25&115\\235&770&10\end{array}\right)$$
Множення матриць
Множення матриць — справа трохи складніша, бо воно не таке інтуїтивне, як можна було б сподіватися. Недостатньо просто перемножити відповідні елементи. Насамперед матриці мають задовольняти умову: кількість стовпців першої матриці має дорівнювати кількості рядків другої матриці. Решта може бути довільною. Тепер можемо означити добуток (n — кількість стовпців першої матриці):
$$(A\cdot B)_{ij}=\sum_{p=1}^{n}a_{ip}\cdot b_{pj}$$
Ну що, зрозуміло? Тепер спробую пояснити й тим, кому це важче дається :-). Візьми перший рядок першої матриці та перший стовпець другої матриці. Тепер помнож перший елемент на перший елемент і додай добуток другого елемента на другий елемент, і так далі. Так отримаєш у новій матриці C елемент c11. Найкраще буде показати на прикладі. Помножимо ці дві матриці:
$$A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}5&6\\7&8\end{array}\right)$$
Тепер виберемо перший рядок першої матриці та перший стовпчик другої матриці:
$$A=\left(\begin{array}{cc}\fbox{1}&\fbox{2}\\3&4\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}\fbox{5}&6\\\fbox{7}&8\end{array}\right)$$
Для наочності запису нову матрицю позначимо C. Щоб отримати перший елемент цієї матриці, треба обчислити таке: $c_{11} = a_{11}\cdot b_{11} + a_{12}\cdot b_{21}$. Звертаю увагу, що на першому місці в індексі стоїть рядок, а потім стовпець. Після підстановки маємо: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. Перший елемент має значення 19:
$$C=\left(\begin{array}{cc}19&?\\?&?\end{array}\right)$$
Наступний елемент, c12, отримаємо так само, тільки візьмемо перший рядок і другий стовпець. Таким довгим обчисленням ми завжди отримуємо той елемент, який у них спільний. Перший рядок і перший стовпець мають спільний елемент на позиції c11, перший рядок і другий стовпець — c12. Гарно це показує наступний рисунок:
Тепер швидко домножимо решту матриці:
$$\begin{eqnarray} c_{12} &=& a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22.\\ c_{21} &=& a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43.\\ c_{22} &=& a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{eqnarray}$$
Ці числа залишається лише записати в матрицю:
$$C=\left(\begin{array}{cc}19&22\\43&50\end{array}\right)$$
Правильність результату можна перевірити, наприклад, в Excel або в LibreOffice Calc, які містять функції для роботи з матрицями.
Тепер кілька загальних відомостей про множення матриць. Насамперед множення матриць не є комутативним. Загалом не виконується, що A · B = B · A, хоча, звісно, такий випадок може трапитися. Зате множення матриць асоціативне. Воно навіть дистрибутивне щодо додавання: A (B + C) = AB + AC. Якщо множимо дві матриці $a_{ix}\cdot b_{xn}$, то отримана матриця буде типу i × n (матиме стільки рядків, скільки їх у першої матриці, і стільки стовпців, скільки їх у другої матриці).
Приклади
Маємо три такі матриці:
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right),,B=\left(\begin{array}{ccc}4&2&8\\10&12&4\\4&5&9\end{array}\right),,C=\left(\begin{array}{cc}8&9\\-5&4\\10&-1\end{array}\right).$$
Знайди добуток матриць A · B.
$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}4&2&8\\10&12&4\\4&5&9\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}36&41&43\\90&98&106\\144&155&169\end{array}\right)$$
Знайди добуток матриць B · A.
Зверни увагу, що множення матриць не комутативне, тож не можна впевнено стверджувати, що результат буде такий самий, як у попередньому випадку. Доведеться все обчислювати наново:
$$\left(\begin{array}{ccc}4&2&8\\10&12&4\\4&5&9\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}68&82&96\\86&112&138\\87&105&123\end{array}\right)$$
Знайди добутки матриць A · C і C · B.
$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}8&9\\-5&4\\10&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}28&14\\67&50\\106&86\end{array}\right)$$
Другий добуток обчислити не можна, бо кількість стовпців першої матриці відрізняється від кількості рядків другої матриці.
Елементарні перетворення матриць
Щоб ефективно працювати з матрицями, треба означити кілька елементарних перетворень. Насамперед можна помножити рядок/стовпець матриці на довільне число, відмінне від нуля. Множення діє так само, як добуток матриці на число k, але лише в цьому рядку/стовпці.
Друге перетворення — додавання до i-го рядка j-го рядка, помноженого на число k. Те саме для стовпців. Звучить трохи страшно, але насправді все просто. Покажемо це для k = 1. Матимемо таку матрицю:
$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)$$
Тепер до першого рядка додамо другий рядок. Отже, беремо другий рядок і додаємо числа з його позицій до чисел першого рядка, що стоять на тих самих позиціях. Числа другого рядка не змінюються, змінюється лише перший рядок:
$$\left(\begin{array}{ccc}5&7&9\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right)$$
Тепер можемо продовжувати перетворення. Спробуємо додати до третього рядка перший рядок, помножений на два. Візьмемо з нової матриці перший рядок, помножимо його на два, отримаємо рядок (10; 14; 18), і ці числа додамо до третього рядка. Знову ж таки, перший рядок не змінюється, змінюється лише третій:
$$\left(\begin{array}{ccc}5&7&9\\4&5&6\\17&22&27\end{array}\right)$$
Тепер додамо до третього рядка ще й суму першого та другого рядків. По суті, нічого нового тут немає, бо коли до третього рядка додамо спочатку другий, а потім перший, то маємо дійти до того самого результату. Сума першого та другого рядків дорівнюватиме: (5; 7; 9) + (4; 5; 6) = (9; 12; 15). Сума цього рядка з третім рядком дорівнюватиме: (9; 12; 15) + (17; 22; 27) = (26; 34; 42).
$$\left(\begin{array}{ccc}5&7&9\\4&5&6\\26&34&42\end{array}\right)$$
І ще одне перетворення стовпців (їх зазвичай застосовують не так часто, бо вони менш наочні). Додамо перший стовпець до другого стовпця:
$$\left(\begin{array}{ccc}5&12&9\\4&9&6\\26&60&42\end{array}\right)$$
І нарешті помножимо другий рядок на два:
$$\left(\begin{array}{ccc}5&12&9\\8&18&12\\26&60&42\end{array}\right)$$
Лінійна залежність
Тепер пояснимо, що таке залежні рядки/стовпці. Рядок лінійно залежний, якщо його можна виразити як лінійну комбінацію інших рядків матриці. Коротко, якщо ти зможеш по-різному додавати рядки так, щоб урешті вийшов шуканий рядок, то цей рядок лінійно залежний. Приклад:
$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\6&9&12\end{array}\right)$$
Якщо взяти подвоєний перший рядок і другий рядок, отримаємо третій рядок. Якщо від третього рядка відняти цю комбінацію, отримаємо нульовий рядок (рядок, що складається із самих нулів). Цей рядок залежний. Отже, перетворення виконаємо так (помножимо перший рядок на два, додамо до другого рядка, віднімемо від третього):
$$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\6&9&12\end{array}\right)\sim \begin{pmatrix}2&4&6\\4&5&6\\6&9&12\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}2&4&6\\6&9&12\\6&9&12\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}2&4&6\\6&9&12\\0&0&0\end{pmatrix}$$
Якщо маємо матрицю A, яка має n рядків, а Ai позначає i-й рядок, то скажемо, що матриця не містить лінійно залежного рядка, якщо:
$$\alpha_1A_1+\alpha_2A_2+\ldots+\alpha_nA_n={\bf 0}$$
тоді й лише тоді, коли α1, α2, …, αn = 0. Нуль у правій частині рівняння — це нульовий рядок. Тобто якщо єдиний розв'язок цього рівняння нульовий. Якщо знайдемо інший розв'язок, то матриця містить лінійно залежний рядок. Аналогічно для стовпця. Для попередньої матриці виконувалося б:
$$\begin{eqnarray} &&2\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}4&5&6\end{pmatrix}-1\begin{pmatrix}6&9&12\end{pmatrix}=\\ &&=\begin{pmatrix}6&9&12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6&9&12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$$
Отже, значення альфа такі: α1 = 2, α2 = 1, α3 = −1.
Кількість незалежних рядків або стовпців визначає ранг матриці.
Невироджені та вироджені матриці
Матриця називається невиродженою, якщо вона має максимальний ранг (тобто в ній немає жодного лінійно залежного рядка) і якщо вона квадратна. Квадратна матриця називається виродженою, якщо вона не є невиродженою (тобто якщо матриця містить принаймні один лінійно залежний рядок). Ці два поняття досить важливі, точніше, на них часто ґрунтуються деякі означення. Багато речей означено, лише якщо матриця невироджена.