Системи рівнянь
На практиці часто трапляється, що ми розв'язуємо не одне рівняння, а одразу два (або й більше). Спочатку покажемо, як розв'язувати таку систему рівнянь методом підстановки. Щоб дізнатися, як розв'язувати системи рівнянь за допомогою матриць, перейди до статті про системи лінійних рівнянь.
Основи
Система рівнянь — це кілька рівнянь, які розв'язують разом. У системі рівнянь зазвичай буває більше ніж одна змінна, і ми намагаємося знайти таку комбінацію чисел, що після підстановки замість усіх змінних усі рівняння перетворюються на правильні рівності.
Прикладом системи рівнянь може бути така система:
$$\begin{array}{ccccc} a&+&b&=&0\\ 2a&+&b&=&10 \end{array}$$
Розв'язком цієї системи має бути пара (або множина пар) чисел, які після підстановки замість змінних a і b роблять обидва рівняння правильними. Навіть на око видно, що змінна a має дорівнювати −b, щоб виконувалося рівняння a + b = 0. Маючи це на увазі, з другого рівняння легко бачимо, що a = 10 і b = −10. Після підстановки отримаємо:
$$\begin{array}{ccccc} 10&-&10&=&0\\ 2\cdot10&-&10&=&10 \end{array}$$
Отже, розв'язок «на око» маємо, а тепер перейдімо до якихось систематичних алгоритмів розв'язування систем рівнянь.
Метод підстановки
У методі підстановки ми виражаємо одну з невідомих в одному рівнянні й підставляємо цей результат у друге рівняння. Тож спершу нам потрібна якась система. Наприклад, ось ця:
$$\begin{array}{ccccc} 4x&+&2y&=&6\\ 5x&-&3y&=&13 \end{array}$$
Це проста система двох рівнянь із двома невідомими. Наше завдання — знайти значення x і y так, щоб обидва рівняння виконувалися. З першого рівняння виразимо y. Тож візьмімо лише перше рівняння й виразімо y.
$$4x+2y=6$$
Спершу віднімемо 4x:
$$2y=6-4x$$
Поділимо на два:
$$y=3-2x$$
Тепер ми знаємо, чому дорівнює y. Цей результат можна підставити замість змінної y у другому рівнянні. Тобто в другому рівнянні замість y напишемо 3 − 2x. Чого ми цим досягнемо? У другому рівнянні матимемо не дві змінні, а лише одну, бо замість y підставимо вираз, який містить тільки змінну x. Отже, підставляємо:
$$\begin{array}{lllll} 5x&-&3y&=&13\quad/y=3-2x\\ 5x&-&3(3-2x)&=&13 \end{array}$$
Тепер розкриємо дужки й зведемо подібні доданки:
$$\begin{array}{rrrll} 5x&-&3(3-2x)&=&13\\ 5x&-&(9-6x)&=&13\\ 5x&-&9+6x&=&13\\ &&11x-9&=&13\\ &&11x&=&22\\ &&x&=&2 \end{array}$$
Тепер ми знаємо значення x, воно дорівнює двом. Лишається обчислити значення y. Для цього підставимо відоме значення x у будь-яке рівняння, що містить обидві змінні — і x, і y. Можна, наприклад, вибрати найперше рівняння. Підставляємо так:
$$\begin{array}{rrcll} 4x&+&2y&=&6\quad/x=2\\ 4\cdot2&+&2y&=&6\\ &&2y&=&6-8\\ &&2y&=&-2\\ &&y&=&-1\\ \end{array}$$
Так ми розв'язали систему. Система рівнянь має єдиний розв'язок: x = 2 і y = −1. Якщо хочеш перевірити цей результат, просто підстав його в обидва рівняння. Отже, підстановка в перше рівняння:
$$\begin{array}{rrrcl} 4x&+&2y&=&6\quad/x=2, y=-1\\ 4\cdot2&+&2\cdot(-1)&=&6\\ 8&-&2&=&6\\ &&6&=&6 \end{array}$$
А підстановка в друге рівняння:
$$\begin{array}{rrrcl} 5x&-&3y&=&13\quad/x=2, y=-1\\ 5\cdot2&-&3\cdot(-1)&=&13\\ 10&+&3&=&13\\ &&13&=&13 \end{array}$$
Відповідь: (2; −1).
Метод додавання
Цей метод мені більше до вподоби, але, звісно, усе залежить від конкретного прикладу. Він підходить не завжди. Суть методу додавання в тому, що додавання рівнянь під час розв'язування систем є рівносильним перетворенням. Рівняння додаємо так: додаємо ліву частину одного рівняння до лівої частини другого, а потім додаємо праві частини рівнянь. Візьмімо в загальному вигляді таку систему рівнянь:
$$\begin{array}{rrrcl} f_1(x)&+&g_1(y)&=&a\\ f_2(x)&+&g_2(y)&=&b \end{array}$$
Якби ми додали ці рівняння, то отримали б єдине рівняння:
$$f_1(x)+f_2(x)+g_1(y)+g_2(y)=a+b$$
Ми додали окремо ліві й окремо праві частини. Але яка наша мета? Якщо додати два рівняння, а дві змінні залишаться, то це нам мало допоможе. Тому ми намагаємося зробити так, щоб після додавання обох рівнянь одна змінна зникла, тобто щоб доданки взаємно скоротилися. Отже, прагнемо, щоб сума однієї з пар функцій, f або g, дорівнювала нулю:
$$f_1(x)+f_2(x)=0 \quad\vee\quad g_1(y)+g_2(y)=0$$
Як цього досягти? Система рівнянь складається зі звичайних рівнянь, до яких можна застосувати рівносильні перетворення рівнянь, як у звичайних типах рівнянь. Тому будь-яке з рівнянь можна помножити на якесь число, і правильність рівняння не зміниться. Спробуймо розв'язати попередню систему рівнянь методом додавання. Умова та сама:
$$\begin{array}{ccccc} 4x&+&2y&=&6\\ 5x&-&3y&=&13 \end{array}$$
Якби ми додали рівняння одразу, залишилися б обидві змінні:
$$4x+5x\ne0,\qquad2y-3y\ne0$$
Тому спершу треба виконати якісь перетворення. Спробуємо «позбутися» змінної y. Для цього потрібно, щоб коефіцієнти біля y в обох рівняннях були однакові за модулем, а знаки — протилежні. Шукаємо найменше спільне кратне, а це 6. Простий спосіб — перемножити коефіцієнти: два помножити на три дорівнює шести — число шість точно ділиться на обидва числа (зауваження: цей спосіб не гарантує найменшого спільного кратного, але знаходить число, яке ділиться на обидва коефіцієнти).
Тепер хочемо отримати біля y в кожному рівнянні шістку. Тому перше рівняння помножимо на три, друге — на два:
$$\begin{array}{ccccc} 4x&+&2y&=&6\quad/\cdot3\\ 5x&-&3y&=&13\quad/\cdot2 \end{array}$$
Отримуємо:
$$\begin{array}{ccccc} 12x&+&6y&=&18\\ 10x&-&6y&=&26 \end{array}$$
Тепер додаємо рівняння:
$$\begin{eqnarray} 12x+10x+6y-6y&=&18+26\\ 22x+0y&=&44 \end{eqnarray}$$
Отже, ми отримали одне рівняння з однією змінною, яке вже легко розв'язуємо:
$$\begin{eqnarray} 22x+0y&=&44\\ 22x&=&44\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$
Бачимо, що вийшов той самий результат, що й під час використання попереднього методу — підстановки. Тепер залишилося б знову підставити x у якесь рівняння, і ми отримали б y = −1. Перевірка також відбувалася б абсолютно так само.
Кількість розв'язків
Система рівнянь може мати не лише один розв'язок. Вона може мати і нескінченно багато розв'язків, або, навпаки, жодного. Коротко про те, коли так трапляється. Якщо в нас є два рівняння з двома невідомими й одне з них можна виразити через друге, застосувавши до нього якісь рівносильні перетворення, то система має нескінченно багато розв'язків. Прикладом буде система
$$\begin{array}{rrrcl} x&+&y&=&2\\ 2x&+&2y&=&4 \end{array}$$
Бачимо, що коли перше рівняння помножити на два, отримаємо точно друге рівняння. Друге рівняння не дає жодної «нової інформації» про систему, тож воно практично зайве. Це проявляється в тому, що будь-який розв'язок рівняння
$$x+y=2$$
водночас є розв'язком усієї системи. Наприклад, пари (1; 1) або (−3; 5) — розв'язки першого рівняння і водночас усієї системи.
Система не має жодного розв'язку, якщо в ній є суперечливі рівняння, які не можуть виконуватися одночасно. Наприклад:
$$\begin{array}{rrrcl} x&+&y&=&2\\ x&+&y&=&4 \end{array}$$
Сума x + y не може одночасно дорівнювати і двом, і чотирьом, тому система не має жодного розв'язку. Ще кілька прикладів:
Перший приклад
Розв'яжи таку систему двох рівнянь із двома невідомими:
$$\begin{array}{rrrcl} 7x&+&3y&=&21\\ 14x&+&9y&=&0 \end{array}$$
З першого погляду на систему видно, що вона підходить для методу додавання. Коефіцієнт біля x у другому рівнянні вдвічі більший, ніж у першому, а коефіцієнт біля y у другому рівнянні втричі більший. Тож достатньо помножити перше рівняння на мінус два або на мінус три й додати рівняння. Спробуємо позбутися змінної x, тому помножимо перше рівняння на −2. Отримуємо:
$$\begin{array}{rrrcl} -14x&-&6y&=&-42\\ 14x&+&9y&=&0 \end{array}$$
Додамо ці два рівняння й отримаємо
$$\begin{eqnarray} 14x-14x+9y-6y&=&-42\\ 3y&=&-42\\ y&=&-14 \end{eqnarray}$$
Маємо перший результат нашої системи. Підставимо його в якесь рівняння, можна знову в найперше:
$$\begin{eqnarray} 7x+3y&=&21\quad/y=-14\\ 7x+3\cdot(-14)&=&21\\ 7x-42&=&21\\ 7x&=&63\\ x&=&9 \end{eqnarray}$$
Отже, розв'язок системи рівнянь: x = 9 і y = −14.
Відповідь: (9; −14).
Другий приклад
Розв'яжи таку систему двох рівнянь із двома невідомими:
$$\begin{array}{rcl} (x + 4)(y - 2)& =& (x - 2)(y + 13)\\ (x - 1)(y - 3) &= &(x + 2)(y - 5) \end{array}$$
Виглядає трохи страшно, але впораємося. Насамперед треба розкрити дужки, без цього далеко не зайдемо.
$$\begin{eqnarray} xy - 2x + 4y - 8 &=& xy + 13x - 2y - 26\\ xy - 3x - y + 3 &=& xy - 5x + 2y - 10 \end{eqnarray}$$
Тепер приведемо рівняння до зручнішого вигляду: змінні перенесемо в ліву частину рівняння, а вільні члени — у праву, а далі зведемо подібні доданки.
$$\begin{array}{rrrcl} -15x& +& 6y &=& -18\\ 2x &-& 3y& =& -13 \end{array}$$
Із цих негарних на вигляд рівнянь ми отримали цілком придатну систему рівнянь і можемо застосувати один із класичних методів. Можна, наприклад, помножити друге рівняння на два й додати до першого. Після множення другого рівняння на два отримуємо:
$$\begin{array}{rrrcl} -15x& +& 6y &=& -18\\ 4x &-& 6y& =& -26 \end{array}$$
Тепер додамо обидва рівняння класичним методом додавання:
$$\begin{eqnarray} 4x-15x+6y-6y&=&-18-26\\ -11x&=&-44\\ 11x&=&44\\ x&=&4 \end{eqnarray}$$
Чудово, один результат уже знаємо. Підставимо його в одне з рівнянь і обчислимо y. Можна підставити, наприклад, у рівняння 2x− 3y = −13 і отримаємо:
$$\begin{eqnarray} 2x - 3y &=& -13\quad/x=4\\ 8 - 3y &=& -13\\ -3y &=& -21\\ -y &=& -7\\ y&=&7 \end{eqnarray}$$
Тепер маємо повний розв'язок системи рівнянь — система має розв'язок x = 4, y = 7.
Відповідь: (4; 7).