Умовна ймовірність

Обчислюючи ймовірність, до випадкового експерименту можна додати й якусь додаткову умову. Класичною задачею на умовну ймовірність може бути такий приклад: кидаємо три кубики. Яка ймовірність, що загальна сума дорівнюватиме семи, якщо на одному з кубиків випала трійка?

Виведення формули

Нехай маємо якийсь випадковий експеримент (наприклад, кидання кубиків) і дві різні події A та B такі, що P(B) ≠ 0, тобто подія B не є неможливою. Тоді можемо говорити про умовну ймовірність, якщо питаємо: яка ймовірність події A, якщо настала подія B? Позначаємо її P(A|B).

Спробуймо крок за кроком дійти до формули, за якою обчислюватимемо умовну ймовірність. Для простоти уявімо чотиригранний ігровий кубик, тобто кубик, на якому можуть випасти лише числа 1, 2, 3 або 4. Спробуємо розв'язати задачу: якщо кинемо два чотиригранні кубики, яка ймовірність, що сума значень дорівнюватиме шести, якщо принаймні на одному з кубиків випало число менше за три?

Почнімо з того, що випишемо всі можливості, які можемо отримати з двома чотиригранними кубиками. Їх усього 4 · 4 = 16.

$$\begin{eqnarray} &&(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), \\ &&(2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), \\ &&(3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), \\ &&(4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4) \end{eqnarray}$$

Як виглядають події A та B? Подія A — «сума значень на кубиках дорівнює шести», а подія B — «принаймні на одному з кубиків випало число менше за три». Нас цікавить умовна ймовірність P(A|B) — яка ймовірність, що настане подія A, якщо ми знаємо, що настала подія B. Спершу з попередньої таблиці відфільтруємо лише ті пари, що водночас належать події B, тобто принаймні одне число в парі менше за три. Отримуємо:

$$\begin{eqnarray} &B=&(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), \\ &&(2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), \\ &&(3; 1), (3; 2), \\ &&(4; 1), (4; 2) \end{eqnarray}$$

По суті, це можна розглядати як множину всіх можливих наслідків. Насправді на кубиках можуть випасти дві четвірки, але додатковою умовою B ми кажемо, що такий наслідок нас не цікавить — цікавлять лише ті наслідки, де принаймні на одному кубику випало число менше за три.

А тепер ми лише питаємо: яка ймовірність, що настала подія A, якщо множина всіх наслідків дорівнює множині B? Нічого іншого умовна ймовірність не означає. Тож у цій множині B знайдемо пари, що дають суму шість:

$$ (2; 4), (4; 2) $$

Як тепер обчислити ймовірність? Маємо 2 сприятливі наслідки, а множина всіх наслідків дорівнює кількості елементів множини B, тобто 12. Умовна ймовірність дорівнює

$$ P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac16 $$

А тепер питання, як це узагальнити. Ми сказали, що як множину всіх можливих наслідків можна розглядати множину B. Як виглядала б множина всіх сприятливих наслідків? Це була б множина тих наслідків, що належать A (це подія, яка нас цікавить), але водночас належать B (це умова, яка нас обмежує). Інакше кажучи: існує ще одна можливість, як два чотиригранні кубики можуть дати суму 6: коли на обох випаде трійка. Але в нашому випадку вона не пройшла б умову B: принаймні одне число менше за три. Тому цей наслідок до сприятливих не зараховуємо. Отже, множина сприятливих наслідків дорівнює A ∩ B, тобто перетину обох подій. Зібравши все разом, отримуємо формулу:

$$ P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}. $$

З формули видно, чому ми припускали P(B) ≠ 0: якби ця умова не виконувалася, ми б ділили на нуль, чим могли б створити чорну діру.

Попередня формула справджується, якщо йдеться про класичне означення ймовірності, коли всі елементарні події мають однакову ймовірність. Формулу можна переписати в загальнішому вигляді:

$$ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}. $$

Розв'язані приклади

1. Кидаємо два кубики, чорний і білий. Яка ймовірність, що на білому кубику випала четвірка, якщо сума обох значень дорівнює семи? Розпишемо: подія A: «на білому кубику випала четвірка», подія B (умова): «сума дорівнює семи». Подія B містить усі пари значень, що дають у сумі 7, тобто B = {(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1)}. Тепер знайдемо A ∩ B, тобто які пари з B водночас належать A, тобто в яких на білому кубику випала четвірка? Припустімо, що значення мають вигляд $(\text{чорний}; \text{білий})$, тож єдина пара, яка належить A ∩ B, — це (3; 4). Тепер лише підставимо у формулу:

$$ P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}=\frac16. $$